Notion d’adhérence

[joquetino]

Bonjour à tous

Je suis en train de comprendre la notion de points adhérents à un ensemble. En lisant la définition, je pensais qu’il s’agissait de tous les points intérieurs à un ensemble, ainsi que les points à la frontière.
Ainsi, si j’ai un intervalle ]0,1], les points adhérents sont dans [0,1].

En relisant la définition, j’essaye d’appliquer un exemple.
Soit un intervalle ]0,1] : le 0 est donc exclut.
Le point 0 est-il un élément adhérent à cet intervalle ?

Je choisi un intervalle J /= {0}, soit J = [-1;0]. L’intervalle J contient bien 0.
Or J inter ]0,1] = ensemble vide

Donc 0 n’est pas adhérent à ]0,1].

Ou me suis-je planté dans mon exemple ? Ou peut-être est-ce ma définition qui est fausse ?

Je vous remercie par avance

[LB2]

Bonjour,

"l'adhérence d'un ensemble = tous les points intérieurs à un ensemble, ainsi que les points à la frontière."

C'est exact mais c'est en réalité comme ceci que l'on définit la frontière d'un ensemble.
Il faut d'autre part définir l'intérieur de façon indépendante de l'adhérence.

On peut voir l'adhérence de A dans un espace ambiant E comme la partie de E constituée des valeurs possibles des limites de suites d'éléments de A. (caractérisation séquentielle, nécessite la notion de limite, par exemple un espace métrique)
Il existe une autre caractérisation de l'adhérence, équivalente.
On dit que x est dans l'adhérence de A dans un espace ambiant E si tout ouvert U de E contenant x contient également au moins un élément de A. C'est cette caractérisation que tu as cherché à vérifier.

Mais ta façon de vérifier si 0 est adhérent à ]0,1] est fausse.
Elle devient vraie si tu supposes de plus que J est un intervalle ouvert.
On voit bien que la seule façon, pour un intervalle ouvert, de contenir 0, c'est de "dépasser un peu" et donc d'intersecter ]0,1].

Enfin, il est fondamental de préciser l'espace ambiant E. Sinon, c'est mal défini et ambigu.
L'adhérence de ]0,1] dans R est [0,1].
L'adhérence de ]0,1] dans ]0,1] est ]0,1].

[joquetino]

Ok super merci bcp pour cette réponse détaillée et très instructive. J’essaye toujours de bien comprendre les définitions et théorèmes pour déjà être sur de bien comprendre et retenir plus facilement. Merci encore et bonne journée.

[sofianmakhlouf]

Bonjour
Tu pourra utiliser une suite de ton ensemble qui converge vers 0