Ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle

[math71]

Bonjour,
J'ai une suite u réelle telle que (un+1-un) tende vers 0. je dois montrer que l'ensemble des valeurs d’adhérence de u est un intervalle.
J'ai commencé par noter F l'ensemble des valeurs d'adhérence de u , puis par dire que si u admet aucune ou 1 seule valeur d’adhérence, F est bien un intervalle. Puis je considère le cas où F possède au-moins 2 valeurs a et b distinctes et je suppose a<b. je prends ensuite c un réel compris strictement entre a et b et je veux montrer que c est dans F, ce qui prouvera bien que F est un intervalle. Soit donc >0 et n est entier quelconque. je veux montrer qu'il existe p >n tel que |up-c|<.
Je vois bien pourquoi puisqu'en partant d'un réel un proche de a avec l’hypothèse un+1-un tend vers 0 on se rapproche des réels adhérent à b, mais je n'arrive pas du tout à voir comment le rédiger proprement. Peut-être serait-ce plus simple par l'absurde?
Entre parenthèse, pourriez-vous aussi m'expliquer s'il vous plait comment on met les indices? merci.
et aussi merci à qui pourra m'aider à rédiger cet exercice.

[Ben314]

Salut,
Pour les indices et exposant, regarde la doc. de MimeTeX là (<- lien).
Sinon, y'a peut-être moyen de le faire par l'absurde, mais ça me semble pas franchement une obligation et ça risque plutôt d’obscurcir le raisonnement qui est bien celui que tu donne :

On considère donc un où et sont des valeur d'adéhence de la suite. On fixe un .
Du fait de l'hypothèse, il existe un tel que .
Du fait que est valeur d'adhérence, il existe un entier tel que .
Du fait que est valeur d'adhérence, il existe un entier tel que .
Reste à expliquer pourquoi il existe forcément un entier compris entre et tel que .

A mon sens, on peut éventuellement écrire que "c'est évident" (avec éventuellement un petit dessin), mais c'est pas sûr et certain que le correcteur apprécie (mais c'est pas forcé non plus qu'il n'apprécie pas vu que c'est effectivement évident).

Si on veut faire une preuve "carré carré", on peut par exemple supposer que (l'autre cas se traitant de manière similaire). Comme , il y a au moins un entier tel que et on peut donc considérer le plus grand entier tel que .
- Soit et on a donc .
- Soit donc et, par maximalité de C, on a . Or donc on a c'est à dire ce qui, combiné au fait que nous dit que .

[Aispor]

Merci pour la doc LaTex j'avais jamais vu Je pensais que c'était plus complexe à écrire x)

[math71]

Bonjour,
Merci déjà pour le lien vers la doc latex et pour l'aide.
Qu'entendez-vous par {A..B}? Ce sont les entiers entre A et B? Si oui, ça va, j'ai compris votre solution, je pensais que la rédaction serait plus longue. Merci!

[Ben314]

Oui, la notation {n..m} est une des notations classique pour décrire l'ensemble des entiers de n à m (compris).
Je pense que c'est lié à la notation semblable dans pas mal de langages informatiques, par exemple le pascal où on déclare un tableau à l'aide d'un array[1..10] of integer (à moins que ce ne soit dans l'autre sens et que la notation ait préexisté en math et ait déteinte sur l'informatique).

Certains notent ça avec des espèces de double crochets, mais je trouve pas ça pratique du tout (chiant à écrire, pas de symbole dédié en LaTeX) ni très parlant (je vois pas le rapport entre le fait de mettre des double barres et le fait que ce soit des entiers). Alors que ça {n..m}, on peut parfaitement le voir comme un simple raccourci de l'écriture classique "en extension" {n , n+1 , n+2 , . . . , m} avec évidement des accolades et pas autre chose.

[math71]

En classe on utilise la notation avec les doubles barres. Encore merci et bonne soirée