Normes définie à partir de polynômes

[qsdwa]

Bonjour!
Voici l'exercice sur lequel j'aurais besoin de quelques précisions...


Tout d'abord, je crois qu'il n'est toujours pas clair pour moi de montrer qu'une norme est bien définie. S'agit-il de montrer que N(x)=0 => x=0 ?

J'ai réussi à montrer que N1 est une norme, quant à N2, je préfère détailler ici mon raisonnement dont je ne suis pas si sûre :

- La positive homogénéité est claire
- Pour l'inégalité triangulaire, on raisonne sur le terme : et par sommation on a l'inégalité triangulaire
est-ce correct?
- Pour montrer la séparation, comment procéder? Par contraposée?

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Il s'agit de démontrer que les sommes infinies ont bien un sens dans la première question.

Ajout : pour montrer , il peut être utile de réaliser que si est un polynôme réel non nul de degré , alors sa dérivée -ème est une constante non nulle.

[qsdwa]

Merci pour cette précision

Ces normes sont alors bien définies car si on note d le degré de P, alors le terme général est nul pour tout n strictement supérieur à d. Donc la série converge.

Pour la séparation, si P est non nul de dégré d, sa dérivée p-ième est une constante non nulle comme vous l'avez relevé, et on a alors
Et on a la séparation par contraposée.

Maintenant, si c'est correct jusqu'ici, je dois montrer si ces deux normes sont équivalentes ou non..je n'ai pas d'inégalités qui me viennent à l'esprit

[GaBuZoMeu]

Une coquille : au lieu de .

Il peut être intéressant de comparer et quand parcourt .

[qsdwa]

En effet, merci

Pouvez-vous détailler un peu plus? J'avoue être perdu,
avec on a et serait égale à 1 pour tout ?

et on aurait pour tout
et on pourrait donc encadrer entre et par exemple?

[GaBuZoMeu]

, je suis d'accord. , je ne suis pas d'accord (mais c'est encore pire, en un certain sens).
Je te laisse réfléchir au rapport que ça a avec l'équivalence des normes.

[qsdwa]

Plutôt

et on ne peut donc pas trouver de constante positive telle que
et donc les normes ne sont pas équivalentes

[GaBuZoMeu]

Non, voyons ! Est-ce que ta somme converge ? Et le côté gauche dépend de , pas le côté droit où est une variable muette.
Plus de soin, s'il te plaît !
Pour répondre à la question sur l'équivalence des normes, un minorant de suffit. Tu en connais un.

[qsdwa]

Je m'emmêle les pinceaux depuis avant entre les indices...



et on a qui est la dérivée de en
est-ce de ce minorant dont vous parlez?

[GaBuZoMeu]

Toujours ce sacré manque de soin !
Relis-toi et corrige ta somme.

Ta minoration suffit pour conclure.

[qsdwa]

Mais en reprenant tout ça, je ne comprends plus pourquoi parce que je m'étais aussi trompé en confondant le n du polynôme et la variable muette de la somme...pourquoi n'est-elle pas nulle?

[GaBuZoMeu]

est juste la somme des valeurs absolues des coefficients de .