Norme d'une forme linéaire continue
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Samoth
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par Samoth » 28 Nov 2021, 09:59
Bonjour,
On considère deux exposants conjugués

et

, et pour tout
)
l'application

qui à
)
associe le réel
=\int_0^1 fgdm)
.
On souhaite démontrer que

. Indication : on pourra poser

.
En préliminaire, j'ai démontré que
=q-p)
, et que
)
.
Voici ce que j'ai produit :
Avec

, et d'après l'inégalité de Hölder :
}dm)^{\frac{1}{p}}(\int_0^1 |g|^qdm)^{\frac{1}{q}})
Puis, en remarquant que
=q-p)
, alors
}=|g|^{p+q-p}=|g|^q)
, et donc :
^{\frac{1}{p}}(\int_0^1 |g|^qdm)^{\frac{1}{q}}=\int_0^1 |g|^q dm)
car

et

sont conjugués.
Finalement,

Je serai tenté d'en conclure que

.
Est-ce vrai ?
Merci pour vos indications.
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Ben314
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par Ben314 » 28 Nov 2021, 19:51
Salut,
Est-ce que tu crois vraiment qu'en ne calculant l'image que de UNE SEULE fonction f par ton application l_g ça peut suffire à MAJORER la norme de l'application ?
Tu peut me rappelle ce que c'est la définition de la norme d'une application linéaire ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Samoth
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par Samoth » 29 Nov 2021, 07:39
Bonjour Ben,
Comment vas-tu ?
Est-ce que tu crois vraiment qu'en ne calculant l'image que de UNE SEULE fonction f par ton application l_g ça peut suffire à MAJORER la norme de l'application ?
Absolument pas. J'utilise l'indication et j'essaye de voir où cela va me mener.
Tu peut me rappelle ce que c'est la définition de la norme d'une application linéaire ?
Oui :
|}{||f||_p})
Merci pour tes indications Ben.
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tournesol
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par tournesol » 29 Nov 2021, 09:53
Si je ne me trompes pas , il y a aussi la caractérisation par

Soit alors f de norme p égale à 1 . On a
|=|\int_0^1fg|\le\int_0^1|fg|\le||f||_p||g||_q=||g||_q)
Donc

Je suppose donc que l'indication concerne l'autre inégalité .
Que vaut
)
pour f =ton indic
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Samoth
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par Samoth » 29 Nov 2021, 11:25
Merci Tournesol pour tes indications.
En effet, on a :
|}{||f||_p}=sup_{f\neq 0} |\frac{l_g(f)}{||f||_p}|=sup_{f\neq 0} |l_g(\frac{f}{||f||_p})|=sup_{||f||_p=1}|l_g(f)|)
Effectivement, le premier sens découle de l'inégalité de Hölder.
Pour l'autre sens donc...
Avec

, on obtient :
=l_g(g|g|^{q-2})=\int_0^1 g|g|^{q-2}gdm=\int_0^1 g^2|g|^{q-2}dm=\int_0^1 |g|^qdm=||g||_q^q)
Comme

(par définition des exposants conjugués), alors
|=||g||_q^q\ge ||g||_q)
Ainsi,

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tournesol
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par tournesol » 29 Nov 2021, 18:04
comment définit on

lorque g est nulle sur un ensemble qui n'est pas de mesure nulle , et que q est inférieur à 2 ?
D'autre part ton avant dernière inégalité n'est vraie que si la norme de g est supérieure ou égale à 1 .
Est tu sûr que q est supérieur à 1 ?
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Samoth
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par Samoth » 29 Nov 2021, 18:34
Effectivement, j'ai écrit et conclu sans réfléchir.
La fonction f de l'indication devrait permettre d'obtenir l'inégalité

.
Bon, je continue à y réfléchir...
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tournesol
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par tournesol » 29 Nov 2021, 19:34
Il serait bon que des collègues qui fréquentent plus souvent que moi les espaces Lp interviennent .
Au secours !!!
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Samoth
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par Samoth » 30 Nov 2021, 07:44
Ahah.
En tout cas, les raisonnements ont le temps d'être digérés, et les idées de germer ^^
Merci pour tes indications et remarques qui me sont plus qu'utiles !
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tournesol
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par tournesol » 30 Nov 2021, 11:49
J'aimerais t'aider mais je n'ai pas le temps de réviser mes espaces Lp .
tu ne m'as pas répondu sur |g|^(q-2) . J'ai l'impression qu'il manque des hypothèses .
Egalement , tu devrais trouver des infos sur le net sur la "dualité dans les espaces Lp"
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