Norme d'un projecteur

[yos]

Bonjour.
Je vous propose ce petit exercice, pour lequel j'ai une réponse, mais qui peut intéresser certains.
Soit un projecteur d'un espace euclidien .
Alors est un projecteur orthogonal si et seulement si

(autrement dit les projecteurs orthogonaux sont les seuls de norme 1).

[serge75]

Soit p la projection sur F suivant G.
Soit x dans l'orthogonale de G, et y son projeté. Alors x-y est dans G, et par Saint Pythagore : N(x-y)²+N(x)²=N(y)².
De là, soit il existe un x dans l'orthogonale de G tel que y=p(x) soit distinct de x et alors N(y)>N(x), en d'autre termes la norme de p est >1. Ce cas correspond à dire que l'orthogonale de G n'est pas inclus dans F, et donc que G n'est pas une projection orthogonale.
Dans le cas contraire, l'orthogonale de G est incluse dans F, puis qu'on a une projection orthogonale.
PS : un petit dessin peut être utile pour suivre cette preuve.
Serge

[yos]

C'est pas trop dur on dirait.

On sait bien qu'une projection orthogonale raccourcit les distances (au sens large) et donc qu'une telle projection est de norme 1.
Le sens : orthogonal est donc facile.

La réciproque est moins évidente. Comme le montre Serge 75 une projection non orthogonale doit augmenter certaines distances et c'est le cas des éléments de . Si on fait pas le dessin, on a du mal à trouver le truc.