Nature d'une série

[capitaine nuggets]

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour déterminer la nature de la série de terme général suivant :
.

J'ai pensé à un DL, mais je ne parvient pas à aboutir.

Merci de votre aide.

[arnaud32]

utilises l'expression conjuguee

[capitaine nuggets]

utilises l'expression conjuguee

ok, j'obtiens :

,

mais qu'en faire ?

Ah, u_n est équivalent à 1/n en du coup, la série diverge ?

[capitaine nuggets]

utilises l'expression conjuguee

ok, j'obtiens :

,

mais qu'en faire ?

Ah, est équivalent à 1/n en du coup, la série diverge ?

[arnaud32]

ok, j'obtiens :

,

mais qu'en faire ?

Ah, est équivalent à 1/n en du coup, la série diverge ?

oui elle diverge

[capitaine nuggets]

oui elle diverge

Elle diverge, donc mon raisonnement est bon ?

[adrien69]

Elle n'est pas équivalente à 1/n ;)
Par contre les théorèmes de sommation des relations de comparaison ne sont pas au programme de MP (donc ni de PC ni de PSI), je ne sais pas en L2, mais en tout cas sûrement pas à cette période de l'année. Donc il va falloir trouver plus malin et moins bourrin.
Avec le conjugué, comme l'a suggéré Arnaud, ça peut marcher mais j'ai un peu plus simple en tête. Es-tu capable de me donner un encadrement simple mais assez fin de Un ?

[arnaud32]

Elle diverge, donc mon raisonnement est bon ?

oui tu as une serie a termes positifs equivalentes a une serie divergente donc elle diverge

[capitaine nuggets]

Donc ce n'est pas bon ce que l'on a fait jusque là ?

Elle n'est pas équivalente à 1/n
Par contre les théorèmes de sommation des relations de comparaison ne sont pas au programme de MP (donc ni de PC ni de PSI), je ne sais pas en L2, mais en tout cas sûrement pas à cette période de l'année. Donc il va falloir trouver plus malin et moins bourrin.
Avec le conjugué, comme l'a suggéré Arnaud, ça peut marcher mais j'ai un peu plus simple en tête. Es-tu capable de me donner un encadrement simple mais assez fin de Un ?

Non je ne vois pas :triste:

[adrien69]

Donc ce n'est pas bon ce que l'on a fait jusque là ?




Non je ne vois pas :triste:

Bon déjà elle n'es pas équivalent à 1/n parce que tu as oublié une constante.

Ensuite on va procéder étape par étape :



Maintenant comment majorer ?

Un DL nous donne un idée : pourquoi pas

pour tout h entre 0 et 1 ?

On le vérifie très facilement.

On en déduit donc


Et donc

[capitaine nuggets]

Bon déjà elle n'es pas équivalent à 1/n parce que tu as oublié une constante.

Ensuite on va procéder étape par étape :



Maintenant comment majorer ?

Un DL nous donne un idée : pourquoi pas

pour tout h entre 0 et 1 ?

On le vérifie très facilement.

On en déduit donc


Et donc

Oui mais donc je ne vois pas comment tu obtient ton inégalité.

N'y a-t-il pas un autre moyen pour montrer la divergence de la série ?

[adrien69]

Mais là je viens de te montrer une majoration du terme de droite dans u_n. Tu multiplies par -1 ça te donne une minoration. Et ensuite tu n'as plus qu'à sommer. Je ne vois pas ce qui te pose problème. Écris le tu verras.

[capitaine nuggets]

Mais là je viens de te montrer une majoration du terme de droite dans u_n. Tu multiplies par -1 ça te donne une minoration. Et ensuite tu n'as plus qu'à sommer. Je ne vois pas ce qui te pose problème. Écris le tu verras.

Je comprends pas pourquoi c'est bon.

[adrien69]

Bon le temps de rentrer chez moi et je t'explique

[mathelot]

bonjour,
UN DL est possible , jusqu'à l'ordre 2 de manière à écrire le terme général d'une série convergente.puis un théorème des gendarmes avec

par exemple, un DL de la forme


permettrait d'encadrer la série, à partir d'un certain rang.

[adrien69]

Je reprends plus explicitement.

Je pose

On a donc

Or

Je factorise par et je le sors de la racine.

J'obtiens


Je cherche une constante c positive (strictement si possible) telle que pour tout x dans [0,1] on ait



En passant au carré, je vois que ça équivaut à




Je cherche donc c qui me donne un discriminant négatif ou nul
Je le calcule :



On trouve donc c=1/2 vérifie

pour tout x entre 0 et 1

(illustration : http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427ehqjfuaeqop )


DONC (ouf)


Donc


On en déduit



Je pose le second membre de l'inégalité comme étant

Je sais que pour tout n et que la série de terme général diverge vers l'infini, donc pour tout n et d'après le théorème de comparaison des séries à termes positifs,

diverge.

CQFD


(et l'égalité est franchement un truc à connaître)


ps : \he c'est supérieur ou égal