Nature série

[zork]

bonjour,

comment déterminer la nature de la série de terme général
avec x dans R et dans

merci

[arnaud32]

essaie de trouver un equivalent de Un suivant les valeurs de alpha et x

[zork]

je me permet de relancer le post car j'y arrive toujours pas :hein:

[Le_chat]

Tout a été dit. Tu connais un équivalent de 1+1/2^a+...+1/n^a pour a<1? Pour a=1? Pour a>1?

[zork]

mais comment trouver l'équivalent de cette somme?

[Le_chat]

Ben déjà si a<1, cette somme diverge. Soit dans ton cours tu as un équivalent, soit tu utilises la comparaison série/intégrale pour le trouver.

Si a=1, ça diverge aussi, c'est la série harmonique: 1+1/2+...+1/n, soit tu connais un équivalent, soit tu passes pareil, par un encadrement avec des integrales.

Si a>1, ça converge vers un truc, truc non nul donc c'est équivalent à sa limite.

[zork]

on ne s'occupe pas du x^n?

[Le_chat]

Pas encore, on s'interesse au terme general de la série entière. De toute façon, comme c'est une fraction, si t'as un équivalent du dénominateur, t'as un équivalent du tout.

[zork]

puis je utiliser d'alembert pour trouver le rayon de convergence de la série entière? ca me donne directement la convergence ou bien la divergence

[Le_chat]

Oui, c'est ce qu'on peut utiliser. Mais avant de le faire, il faut trouver un équivalent du terme de ta série entière, sinon je crois que ça va être dur de trouver les limites dans d'Alembert.

[zork]

je n'arrive pas à trouver un équivalent
j'ai essayé avec le DL de 1/(1+x) mais ca ne donne rien

[Le_chat]

Ben il s'agit de trouver un équivalent des sommes partielles des séries de Riemann quand n tend vers l'infini.

Si a>1 comme déjà dit c'est équivalent à sa limite

Pour a;)1, tu prends la fonction f:x->1/x^a.

f est décroissante, donc pour tout n;)2, sur [n,n+1], f(x);)f(n);)f(x-1)

En integrant entre n et n+1, t'as f(n) compris entre deux integrales, et ensuite tu sommes de 2 à N, pour trouver un encadrement pertinent de la somme des f(n).