Moyenne (espérance) d'une loi de probabilité

[Tilu]

Bonjour

Sujet:
J'ai une loi de probabilité p(x) = sin(x). On doit travailler sur la moyenne de cette loi (l'espérance dans le cas des probabilités). La formule de cette moyenne est donnée:
m = ( \int sin(x).sin(x).dx)/(\int sin(x).dx)

Mon problème:
J'ai voulu essayé de retrouver cette loi avec ce que je connais sur l'espérance. Pour moi, soit une variable xi de probabilité pi, la moyenne serait par définition:
(\sum{xi.pi})/(\sum{pi})

Du coup, dans mon cas ou p(x) = sin(x), je me serais attendu à ce qu'au numérateur ce soit:
\int sin(x).x.dx et non pas \int sin(x).sin(x).dx.

Pourquoi est ce que le terme dans l'intégrale est sin(x)sin(x)dx?

PS: Désolée, je n'ai pas réussi à faire marcher l'éditeur d'équation.

[Ben314]

Salut,
C'est pas étonnant que tu arrive à rien partant de ça

J'ai une loi de probabilité p(x) = sin(x)....

vu que ça a pas le début de la moitié du moindre sens !!!!

- Si ton "p(x)=sin(x)" on le prend comme voulant dire que : On considère la loi telle que, pour tout réel x, la probabilité d'obtenir x est égale à sin(x) alors c'est franchement n’importe quoi vu que pour certains x, sin(x) est négatif et qu'en plus, si on prend 4 ou 5 x différents bien choisi et qu'on fait la somme des p(x), ben ça fait alègrement plus de 1 !!!!

- Si ton "p(x)=sin(x)" on le prend comme voulant dire que : On considère la loi continue dont la fonction de répartition est F : R->R ; x->sin(x) alors c'est tout aussi du grand n'importe quoi vu qu'une fonction de répartition ça doit être positif, croissant, tendre vers 0 en -oo et vers 1 en +oo.

- Enfin, si ton "p(x)=sin(x)" on le prend comme voulant dire que : On considère la loi continue dont la fonction de densité est f : R->R ; x->sin(x) alors c'est pas mieux vu qu'une fonction de densité, ça doit être positif et avoir une intégrale de -oo à +oo égale à 1.

Enfin, bref, si tu avait au départ un truc qui définie réellement une loi de proba. alors, on pourrait éventuellement parler de ce qu'est son espérance, mais là....

[leon1789]

Bonjour
Tilu, tu es en quelle filière ? quelle année ?

J'ai une loi de probabilité p(x) = sin(x).

Une loi de probabilité est une fonction agissant sur les parties d'un ensemble.

La fonction p est-elle une fonction de densité ? Quel est le domaine de définition de p ? Dans ce cas, il faut que la fonction p soit positive sur son domaine de définition et que l'intégrale de p sur son domaine soit égale à 1...

[mathelot]

bonsoir,

est ce que tu voulais écrire

dx étant la mesure de Lebesgue
et pour tout borélien

[Tilu]

Je sais que ça peut surprendre, mais quand même, pas besoin d'agressivité SVP.

Je travaille en astrophysique. Pour expliquer cette probabilité, c'est un peu compliqué. La variable est un angle i dans l'intervalle [0;pi/2] donc tel que le sinus est positif.
Cet angle correspond - je simplifie - à l'inclinaison entre deux plans, l'un étant celui de la ligne de visée, et l'autre celui de le plan orbital des étoiles qu'on observe.

On a besoin de la probabilité d'avoir une certaine inclinaison i. Pour la trouver, en gros (je vous passe les détails), on considère l'angle solide (le cône) centré sur la ligne de visée, de demi-angle i. Au bout de quelques manipulations sur le rayon d'ouverture du disque qui fait l'ouverture du cône, on tombe sur une probabilité en p(i) = sin(i). Ca peut paraître bizarre, mais c'est comme ça.

Je suis aussi dans un forum d'astrophysique. Au début, j'ai pensé que ce serait plutôt une question mathématiques donc je suis venue ici, mais je pense que c'est peut être trop "spécial". Je suis désolée. Je vais aller poser la même question dans le forum d'astrophysique et contacter des collègue aussi.Si je trouve de l'aide, je reviendrais partager l'information.

En tout cas, merci d'avoir essayer de m'aider. Ce forum est un vrai suport, comme chaque fois.

[leon1789]

Alors dans ce cas, l'espérance de la loi est simplement l'intégrale de i . sin(i) pour i variant entre 0 et pi/2 .
Après calcul, on trouve E(p) = 1 .

[leon1789]

. La formule de cette moyenne est donnée:
m = ( \int sin(x).sin(x).dx)/(\int sin(x).dx)

D'où tiens-tu cette formule ?

[Ben314]

...on tombe sur une probabilité en p(i) = sin(i). Ca peut paraître bizarre, mais c'est comme ça.

Bis et répéta (hélas...)
J'ai jamais dit que c'était "bizarre" une probabilité en p(i)=sin(i).
Ce que j'ai dit (et que je maintient..), c'est que c'est dénué de sens.

Bref, plutôt que de nous prendre pour des demeurés et de tenter de faire par toi même des calculs donnant ce type de "chose" comme soit-disant "résultat", je pense que tu ferait mieux de nous expliquer exactement ce que tu veut estimer comme proba (et si possible en évitant de parler de "ligne de visée" qui serait... un plan..., ça serait mieux).
Ensuite on te fera le calcul.

[Ben314]

Sinon, de ce que je crois lire entre les lignes, la loi en question, j'ai l'impression que c'est celle là :
On prend un point au hasard sur une demi sphère avec répartition uniforme (par rapport à la surface de la sphère) et on s’intéresse à l'angle entre l'axe de symétrie de la demi sphère et la droite (OM) (où O est le centre de la sphère).
Cet angle est évidement entre 0 et Pi/2 et la proba qu'il soit inférieur à un angle donné, c'est le rapport entre la surface de la "calotte sphérique d'angle " ( pour une sphère de rayon R) et la surface de la demi sphère.()
Bref, la fonction de répartition de la loi est et donc la fonction de densité c'est .

Et si c'est bien ça, alors effectivement, l'espérance, c'est 1 radian soit environ 57 degrés 18 minutes et l'écart type, c'est radians soit environ 21degrés 34 minutes

[Yezu]

Ce genre de densité de proba apparait souvent en physique, notamment en diffusion isotrope. Surement en astrophysique également par rapprochement. Ce n'est pas tant que ça "dénuée de sens".

Si on considère une particule qui rencontre un diffuseur, la probabilité (conjointe) qu'elle se trouve dans un élément de surface infinitésimal sphérique défini sur une sphère de rayon est (autrement dit, la probabilité que la direction de la particule se retrouve dans un cône qui définit un angle par rapport à l'axe des z positifs, entre 0 et et un angle dans le plan (xy) entre 0 et ) :

Soit une densité de proba en :
En utilisant les probabilités marginales, on trouve une densité uniforme pour mais en sinus pour .
La démarche pour arriver à un truc similaire en astrophysique doit être assez semblable.

[Ben314]

Ce genre de densité de proba apparait souvent en physique, notamment en diffusion isotrope. Surement en astrophysique également par rapprochement. Ce n'est pas tant que ça "dénuée de sens".

Bis et répéta (c'est jamais que la troisième fois....) : ce qui est "dénué de sens", c'est déjà de pas préciser dans quel domaine se situe ta proba (ici [0,pi/2]), mais surtout et principalement de noter "p(i)" un truc qui, que ce soit au niveau des unités ou du "sens concret" que ça a, n'a rien à voir avec une probabilité vu que c'est la fonction de répartition de la loi en question.
Pour prendre un exemple au pif... celui là : la variable aléatoire i qu'on étudie, c'est un angle (en radian ou en degré, peu importe), le 1-cos(alpha) qui est la proba que i soit <= alpha, c'est une proba, donc un truc sans unité (i.e. un rapport entre deux quantités de même unités) et le sin(alpha), je te pose la question, c'est quoi son unité ? C'est cohérent de confondre ça avec une proba ?

Bref, je rererepersiste à dire que, d'écrire un truc du style p(i)=sin(i), ça a autant de sens que d'écrire qu'une longueur vaut 25 litres...

[Yezu]

Ahhhhhhhh c'est très très clair que préciser une loi de proba comme ça sans intervalle, ses notations, etc. ça n'a aucun sens. Je croyais que tu mettais en cause le "sinus" ^^
Le coup de la longueur qui fait 25 litres me fait toujours autant marrer ^^

[mathelot]

on sait qu'en trigonométrie rationnelle (cf. Wildberger), le spread angulaire ,c'est à dire le carré de la distance
entre deux droites est où A est l'angle entre les deux droites. il vaut 0 quand les droites sont confondues et 1 quand elles sont perpendiculaires.

[Tilu]

Bonjour à tous

Après quelques discussions, j'ai eu l'explication de ce que je ne comprenais pas. Je ne serais pas capable de répéter celle-ci en détail, car celà dépasse mes compétences dans le domaine des probabilités, mais au moins je comprend globablement la formule que je dois utiliser:
L'inclinaison i n'est pas une variable discrète, c'est une variable continue. C'est ce qui fait que pour la moyenne pondérée de p(i) = sin(i), le terme intervenant dans l'intégrale au numérateur est de la forme f(x).p(x).dx (non pas x.p(x) comme pour une variable discrète), avec dans mon cas x = i, f(x) = sin(i) et p(x) = sin(i).