Je suis bloqué dans un calcul d’espérance, on a :
Sujet :
Estimateur :
qui estime
Question :
Erreur quadratique moyenne :
Ma réponse :
Mais je ne vois pas comment faire rentrer l’espérance ou avancer, une idée
?Merci !
Erreur quadratique moyenne / Espérance
16 messages
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Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 20 Jan 2019, 18:23
Bonjour,
Je suis bloqué dans un calcul d’espérance, on a :
Sujet :
~ )
et 
Estimateur :^2)
avec 
moyenne empirique de 
qui estime
Question :
Erreur quadratique moyenne : = E[\mid\mid \hat{\theta} - \theta\mid\mid^2])
Ma réponse :
 = E[\mid\mid \hat{\theta} -\theta\mid\mid^2] = E[\mid\mid\frac{1}{n} \sum_1^n (y_i)^2-\sigma^2\mid\mid^2])
Mais je ne vois pas comment faire rentrer l’espérance ou avancer, une idée ?
Merci !
Je suis bloqué dans un calcul d’espérance, on a :
Sujet :
Estimateur :
qui estime
Question :
Erreur quadratique moyenne :
Ma réponse :
Mais je ne vois pas comment faire rentrer l’espérance ou avancer, une idée
?Merci !
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par cassiopella » 20 Jan 2019, 21:04
Dans le cours vous avez du voir comment l'expression de l'erreur quadratique moyenne peut être transformée : biais de l'estimateur plus variance de l'estimateur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Erreur_quadratique_moyenne#Expression
Il faut donc trouver le biais et la variance de l'estimateur. Pour te faciliter la vie, je te suggère de simplifier un peu l’expression de la variance empirique.
Il faut donc trouver le biais et la variance de l'estimateur. Pour te faciliter la vie, je te suggère de simplifier un peu l’expression de la variance empirique.
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 22 Jan 2019, 12:22
Merci,
^2] = E[(y_1-\bar{y} )^2] = \sigma - 2\bar{y} E[y_1] = \sigma)
donc = 0)
et
^2] = \frac{1}{n} Var[(y_1 )^2] - 4\bar{y}\sigma^2)
Je suis bloqué sur l'expression de la variance, quelqu'un trouverai pas une erreur par hazard ?
donc
et
Je suis bloqué sur l'expression de la variance, quelqu'un trouverai pas une erreur par hazard
?Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par Sylviel » 22 Jan 2019, 15:07
Bonjour,
ça me semble bourré d'erreurs ^^
pour commencer il faut développer proprement le carré, et ensuite se souvenir que l'espérance du carré d'une variable centrée c'est la variance, pas l'écart-type
ça me semble bourré d'erreurs ^^
pour commencer il faut développer proprement le carré, et ensuite se souvenir que l'espérance du carré d'une variable centrée c'est la variance, pas l'écart-type
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par Lostounet » 22 Jan 2019, 15:21
Tu essayes de faire quoi au juste?
Une décomposition biais-variance on dirait...
Une décomposition biais-variance on dirait...
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Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 22 Jan 2019, 16:02
Oui merci.
^2] = E[(y_1-\bar{y} )^2] = \sigma^2 + \sigma^2 - 2E[y_1\bar{y}])
que puis sortir ici ?
^2] = \frac{1}{n} ( Var[(y_1 )^2] +Var[\bar{y}^2]- 2Var[y_i\bar{y]})
)
Je vois pas comment sortir les termes doubles
Je vois pas comment sortir les termes doubles
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par Lostounet » 22 Jan 2019, 16:13
Où a disparu la somme dans l'espérance???
Je te rappelle que les termes)
ne sont pas tous égaux pour que le 1/n disparaisse...
Je te rappelle que les termes
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Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par Lostounet » 22 Jan 2019, 16:18
= ....
Mais il me semble que c'est pas ça que tu veux calculer.
Tu cherches
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Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 22 Jan 2019, 16:32
Merci !
^2] = \frac{1}{n} E(\sum_1^n (y_i-\bar{y} )^2)<br />= E[y_1^2]- 2E[y_1\bar{y} ]+ E[(\frac{1}{n} \sum_1^n y_i)^2]=\sigma^2 - 2E[y_1\bar{y} ]+ \frac{1}{n^2}E[(\sum_1^n y_i)^2)])
^2] = \frac{1}{n^2}(Var[y_1^2]- 2Var[y_1\bar{y} ]+ \frac{1}{n^4}Var[(\sum_1^n y_i)^2]))
J'en suis bloqué ici maintenant.
J'en suis bloqué ici maintenant.
Modifié en dernier par fioldodidi le 22 Jan 2019, 16:40, modifié 3 fois.
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 22 Jan 2019, 16:35
Oui que je décompose en biais variance et pour le biais j'ai besoin de E[tetha chapeau]
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par cassiopella » 22 Jan 2019, 16:51
Ton calcul du biais est toujours faux!
Tu oublies les sigmas (somme), c'est pour cela que tu n'arrives pas à simplifier. Je conseille de dévélopper la somme sans sigma pour voir mieux. J'ajoute un étape à la suggestion de @Lostoutnet :
 = \mathbb{E} (\sum_{i=1}^{n} \frac{(y_i - \bar{y})^2}{n}) = \mathbb{E} (\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2) =\frac{1}{n} \cdot \mathbb{E}\Big[ (y_1 - \bar{y})^2 + (y_2 - \bar{y})^2 + ... + (y_{n-1} - \bar{y})^2 + (y_n - \bar{y})^2 \Big])
 = \frac{1}{n} \cdot \mathbb{E}\Big[ y_{1}^{2} + 2y_1 \bar{y} + \bar{y}^{2} + y_{2}^{2} + 2y_2 \bar{y} + \bar{y}^{2} + ... + y_{n-1}^{2} + 2y_{n-1} \bar{y} + \bar{y} ^{2}+ y_{n}^{2} + 2y_n \bar{y} + \bar{y}^{2} \Big] = ...)
 = \frac{1}{n} \cdot \mathbb{E}\Big[ (y_{1}^{2} + y_{2}^{2} +...+y_{n-1}^{2} +y_{n}^{2}) +( 2y_1 \bar{y} + 2y_2 \bar{y} + ... + 2y_{n-1} \bar{y} + 2y_n \bar{y}) + ( \bar{y}^{2} + \bar{y}^{2} +...+ \bar{y}^{2} + \bar{y}^{2} ) \Big] = ...)
Il ne faut pas hésiter de dévélopper quand tu n'as pas encore les automatismes.
Tu oublies les sigmas (somme), c'est pour cela que tu n'arrives pas à simplifier. Je conseille de dévélopper la somme sans sigma pour voir mieux. J'ajoute un étape à la suggestion de @Lostoutnet :
Il ne faut pas hésiter de dévélopper quand tu n'as pas encore les automatismes.
Modifié en dernier par cassiopella le 22 Jan 2019, 16:58, modifié 1 fois.
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 22 Jan 2019, 16:57
Pour moi :
 = \frac{1}{n} \cdot \mathbb{E}\Big[ y_{1}^{2} + 2y_1 \bar{y} + \bar{y} + y_{2}^{2} + 2y_2 \bar{y} + \bar{y}^2 + ... + y_{n-1}^{2} + 2y_{n-1} \bar{y} + \bar{y}^2 + y_{n}^{2} + 2y_n \bar{y} + \bar{y}^2 \Big] = \frac{1}{n} (n*E[y_1^2]- 2*n*E[y_1\bar{y} ]+ n*E[\bar{y}^2]) = E[y_1^2]- 2E[y_1\bar{y} ]+ E[(\frac{1}{n} \sum_1^n y_i)^2])
Modifié en dernier par fioldodidi le 22 Jan 2019, 16:59, modifié 1 fois.
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par cassiopella » 22 Jan 2019, 16:58
Oui, j'ai corrigé.
Modifié en dernier par cassiopella le 22 Jan 2019, 17:00, modifié 2 fois.
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par fioldodidi » 22 Jan 2019, 16:59
Donc c'est quoi mon problème, j'ai la même chose non ?
J'en suis bloqué ici maintenant.
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Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par cassiopella » 22 Jan 2019, 17:01
Il ne faut pas développer la moyenne, au contraire. Le terme du milieu, la somme des 
, tu ne vois pas ce que c'est? Par quoi tu peux factoriser ici :
)
Et déjà l’espérance de la somme c'est ... ?
Et déjà l’espérance de la somme c'est ... ?
Re: Erreur quadratique moyenne / Espérance
par cassiopella » 22 Jan 2019, 17:10
Bon, pour la variance je donne l'expréssion finale que tu dois obtenir si tu simplifies la somme :
^2}{n} = ... = \Big[ \sum_{i=1}^{n} \frac{y_{i}^{2}}{n} \Big]- \bar{y}^2)
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