Montrer qu'une fonction est borné

[Rik95]

Bonsoir,

J'aurai besoin d'aide pour une démonstration svp, l’énonce dit : soit f une fonction réel, continue et périodique, montrez qu'elle est borné.

Comment puis je faire ? mon idée de base est de prendre l'intervalle [0 P] puis de dire que c'est le même intervalle qui se répète a l'infini mais bon je ne sais pas trop comment faire pour le prouver :/

[chan79]

salut
Comme f est continue, elle est bornée sur [0;P] donc sur

[zaidoun]

Soit T>0, f est T périodique.On a f est continue sur [0, T ] donc bornée par M.

Soit x un réel quelconque, on a f(x)= f( x - E(x/T) T), tu peux conclure après.

[Rik95]

merci pour vos réponses rapide mais je n'ai pas très bien compris la chose, pourquoi la continuité de f implique qu'elle est borné ?

[chan79]

merci pour vos réponses rapide mais je n'ai pas très bien compris la chose, pourquoi la continuité de f implique qu'elle est borné ?

c'est un résultat de cours. L'image d'un segment, comme [0,P], par une fonction continue est un segment.

[BiancoAngelo]

c'est un résultat de cours. L'image d'un segment, comme [0,P], par une fonction continue est un segment.

Sans penser au théorème, pour que tu saisisses, c'est que quand c'est continue, sur.un segment, pas moyen d'aller en + infini, car pas de valeur "interdite ".

C'est pour que tu comprennes l'idée.

[Rik95]

Mmmm je vois, et sinon pour rediger la demonstration sa suffit que je dise que f est continue dans [0 p] et comme elle est périodique tout f[0 p] = [a b] ?

[BiancoAngelo]

Mmmm je vois, et sinon pour rediger la demonstration sa suffit que je dise que f est continue dans [0 p] et comme elle est périodique tout f[0 p] = [a b] ?

Dit correctement, c'est plutôt :

f continue sur [0;p], donc bornée sur [0;p].
Soit on dit alors : f périodique de période p implique qu'elle est bornée sur chaque période donc bornée sur R.
Soit on dit [a;b] = f([0;p]), et comme périodique de période p, f(R) = [a;b], d'où le résultat.

[Rik95]

Dit correctement, c'est plutôt :

f continue sur [0;p], donc bornée sur [0;p].
Soit on dit alors : f périodique de période p implique qu'elle est bornée sur chaque période donc bornée sur R.
Soit on dit [a;b] = f([0;p]), et comme périodique de période p, f(R) = [a;b], d'où le résultat.

Merci, c'est en effet plus clair comme ça ^^

[Ben314]

...elle est bornée sur chaque période donc bornée sur R.

A mon sens, au niveau rédaction, ça, ça ne va pas du tout : ça laisse fortement sous entendre (sans vraiment le dire certes...) que l'auteur de cette prose pense que, si une fonction est bornée sur des intervalles (un nombre infini d'intervalles en l'occurrence) alors elle est bornée sur la réunion de ces intervalles ce qui est clairement faux.
Si on veut le formuler de cette façon, il me semble qu'il faut bien insister sur le fait que :
...elle est bornée par la même borne sur chaque période donc bornée sur R.

[BiancoAngelo]

A mon sens, au niveau rédaction, ça, ça ne va pas du tout : ça laisse fortement sous entendre (sans vraiment le dire certes...) que l'auteur de cette prose pense que, si une fonction est bornée sur des intervalles (un nombre infini d'intervalles en l'occurrence) alors elle est bornée sur la réunion de ces intervalles ce qui est clairement faux.
Si on veut le formuler de cette façon, il me semble qu'il faut bien insister sur le fait que :
...elle est bornée par la même borne sur chaque période donc bornée sur R.

Non, ne le dis pas, j'ai juste oublié de l'écrire, c'était tellement évident pour moi.
Merci d'avoir corrigé.

Car toutes les fonctions f continues permettent d'écrire son image comme l'union de bornés, qui n'est pas forcément bornée en passant à une infinité d'union (dans le cas de R).

Je ne suis pas fou, quand même

[Rik95]

Donc la bonne rédaction serai de dire quelques chose comme ça ?

f continue sur [0;p], donc bornée sur [0;p].
et comme f est périodique de période p cela implique qu'elle est bornée par les même valeurs après chaque période p autrement dit elle est borné par les mêmes valeurs sur tout intervalle du type [kp (k+1)p] = [a, b] donc elle est bornée sur tout R.

[BiancoAngelo]

Donc la bonne rédaction serai de dire quelques chose comme ça ?

f continue sur [0;p], donc bornée sur [0;p].
et comme f est périodique de période p cela implique qu'elle est bornée par les même valeurs après chaque période p autrement dit elle est borné par les mêmes valeurs sur tout intervalle du type [kp (k+1)p] = [a, b] donc elle est bornée sur tout R.

f continue sur [0;p], donc bornée sur [0;p].
Comme f est périodique de période p cela implique qu'elle est bornée par les même valeurs sur chaque période p donc elle est bornée sur tout R.

Pas besoin de plus.

[Rik95]

f continue sur [0;p], donc bornée sur [0;p].
Comme f est périodique de période p cela implique qu'elle est bornée par les même valeurs sur chaque période p donc elle est bornée sur tout R.

Pas besoin de plus.

Ok Merci