[EDIT]Montrer qu'un ensemble est borné

[Massipu]

Bonjour,
Voilà mon problème:je suis en première année d'éco-gestion et pour un td de math pour éco on me demande de pouver qu'un ensemble est fermé. Comment procéder ?

Voici l'ennoncé:
Démontrer que les ensembles suivants sont des ensembles fermés de R²:
F1={(x,y):3x²+5y²=2}
F2={(x,y):e^(-x²-y²)>=(1/3)}
F3={(x,y):xy/((1+x²)(1+y²))>=(1/12)}
F4={(x,y):x^(1/4)y^(3/4)>=y-1}

ps: >= signifie supérieur ou égal

[EDIT]Je cherche maintenant à trouver si F4 est bordé ou non.

[fahr451]

bonjour

pour faire simple les ensembles définis par des égalités ou inégalités larges sont fermés

pour le montrer on fait de la même façon dans tous les cas

F1 fermé?
on prend une suite (xn, yn) d éléments de F1 qui converge vers (x,y)
on montre (x,y) dans F1

on a pour tout n

3xn^2 + 5yn^2 = 2 par passage à la limite on obtient

3x^2 +5y^2 = 2

et le résultat et F1 fermé

REM on utilise de façon essentielle que

f(x,y) = 3x^2 +5y^2 -2 est CONTINUE

on peut aussi dire

F1 = f^(-1) {0} avec f continue et {0} fermé donc F1 fermé

[Massipu]

Merci pour cette réponse mais je ne comprend pas pourquoi on utilise xn et yn.
Serais t-il possible d'avoir une contre-exemple, c'est-à-dire, montrer qu'un ensemble n'est pas fermé?

[fahr451]

un ensemble F est fermé si pour toute suite convergente d éléments de F la limite est dans F

la deuxième preuve donnée n 'utilise pas les suites

F = { (x,y) dans R^2 avec x>0 } n 'est pas fermé

(1/n , 0) est une suite d éléments de F qui converge vers

(0,0) qui n'est pas dans F .

[mathelot]

F4={(x,y):x^(1/4)y^(3/4)>=y-1}

l'application
est continue de dans R. F4 est l'image réciproque du fermé par f. F4 est donc un ensemble fermé de .

[Massipu]

Enfaite si j'ai bien compris le principe il faut dire que n'importe quel xn yn tendent vers la même chose que l'équation donnée dans l'énnocé?

[Joker62]

Un ensemble F est fermé si et seulement si
N'importe quel suite de F convergente vers un point A implique que A appartient à F

ça veut pas dire que toutes les suites de F convergent attention

[Massipu]

Merci pour vos réponses maintenant j'ai un problème pour démontrer qu'un ensemble est borné on me demande si F4 est borné ou non...

[Alpha]

Aie aussi bien présent à l'esprit le fait que l'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé :lol4:

[Massipu]

L'image réciproque est-ce que c'est pareil que le complémentaire?

Je ne vois pas la relation pour montrer qu'il est borné.

[Joker62]

Montre qu'il existe un M ou bien qu'il n'existe pas de M d'ailleurs
telle que f(x,y) <= M

[Massipu]

J'ai du mal avec ta définition joker pourrais tu développer?

[kazeriahm]

dire que F4 est borné, c'est dire qu'il existe une constante positive M telle que pour tout couple (x,y) de F4, max(x,y)=
(en fait ca dépend de la "norme" que tu choisis sur R^2, mais ici ca n'a pas d'importance)

tu te rends compte qua dans F4, tu peux choisir la première composante x assez librement pour que ca marche, en particulier que tu peux la choisir assez grande...

[fahr451]

(x,1) avec x >0 est dans F4 donc F4non borné

[mathelot]

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[Massipu]

Merci pour vos reponses. Mais J'ai vraiment du mal avec ces notions, concrétement j'ai du mal à comprendre la différence entre un ensemble borné et fermé?
Quelqu'un pourrait m'expliquer? Connaissez vous un bon site expliquant les ensembles?

[mathelot]

fermé borné:

fermé non borné:

non fermé , borné (et non ouvert):

[Alpha]

Si tu ne sais pas ce que c'est que l'image réciproque d'un ensemble par une application, il faut que tu revoies certaines bases.

Si est une application de dans , si est une partie de ,
on appelle image réciproque de par ,
et on note , l'ensemble des éléments de dont l'image est dans , ie tels que ...