Montrer que c'est une norme

par **Mike_51** » 27 Mar 2006, 19:46

Bonsoir.
Soit E={f C²([0,1],R) / f(0)=f'(0)=0}.
On pose pour f E, N2(f) = || f+f'' ||oo (norme infinie)
N3(f)=|| f ||oo + || f " ||oo
Montrer que ce sont des normes sur E. Merci de m'aider.

En fait, je n'arrive juste pas à montrer que N2(f)=0 => f=0

par **yos** » 27 Mar 2006, 20:19

f(x)+f'(x)=0 entraîne [f(x)exp(x)]'=0 dond f(x)=kexp(x), f'(x)= ..., k=...

par **quinto** » 27 Mar 2006, 21:53

yos a écrit:f(x)+f'(x)=0 entraîne [f(x)exp(x)]'=0

Ici c'est f+f " mais ca va marcher de la même manière:)
A+

par **yos** » 28 Mar 2006, 07:35

Désolé, j'ai raté une apostrophe.
Ca doit se faire avec la dérivée seconde de f(x)[exp(x)+exp(-x)] je dirais. Mais je ne suis pas sûr que c'est le plus court.

par **Mike_51** » 28 Mar 2006, 11:29

J'ai eu le corrigé ce matin :
Soit f tel que N2(f)=0.
Alors Pour tout x, f(x)+f ''(x)=0
De plus f(0)=0 et f'(0)=0.
Par unicité de la solution au problème de Cauchy {y+y"=0, y(0)=0, y'(0)=0}
f=0.

par **quinto** » 28 Mar 2006, 13:41

Mike_51 a écrit:J'ai eu le corrigé ce matin :
Soit f tel que N2(f)=0.
Alors Pour tout x, f(x)+f ''(x)=0
De plus f(0)=0 et f'(0)=0.
Par unicité de la solution au problème de Cauchy {y+y"=0, y(0)=0, y'(0)=0}
f=0.

Ce qui est la solution proposée par Yos et moi même.
A+

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