Montrer que D est surjective.

par **mundu** » 31 Aoû 2006, 10:03

Salut, voila on note E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus 3.
Soit D une application de E dans R² définie par D(P)=( P(2) , P'(2) ).

Montrer que D est surjective.
En déduire la dimension de Ker D.

En fait, je n'arrive toujours pas à acquérir la méthode pour résoudre ce genre de question, depuis plus d'un an, cette notion d'injectivité/surjectivité est restée vague pour moi. J'ai beau lire les définitions, j'ai encore du mal à appliquer cela dans les exos.
Merci de m'aider!

par **xon** » 31 Aoû 2006, 10:24

Salut,
ton application D est surjective si elle arrive à atteindre tous les points de son espace d'arrivé ici R², donc il faut montrer que pour tout point de R² il y a un polynome de degré au plus 3 qui s'envoie sur ce point.

soit (u,v) un point de R² , tu dois donc chercher un polynome P de degre au plus 3 tel que D(P)=(u,v) c'est à dire P(2)=u et P'(2)=v, et si tu peux trouver un tel P quelque soit (u,v) alors D sera bien surjective.

j'espere que c'est plus clair pour toi

par **mathador** » 31 Aoû 2006, 10:30

Salut
je vais essayer d'y aller pas à pas, et de te laisser conclure.

Montrer que D est surjective, ici, c'est dire que si je prends (X,Y) dans R², je peux trouver (au moins) un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 vérifiant P(2) = X et P'(2) = Y.

Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, il s'écrit :
P = aX^3 + bX² + cX + d
et sa dérivée est :
P' = 3aX² + 2bX + c

Ces deux polynômes doivent être évalués en 2 :
P(2) = 8a + 4b + 2c + d
P'(2) = 12a + 4b + c.

Donc en fait, quand on veut trouver un polynôme tel que P(2) = X et P'(2) = Y, avec X et Y donnés, cela revient à résoudre dans R^4 un système d'inconnue (a,b,c,d) :

X = 8a + 4b + 2c + d
Y = 12a + 4b + c.

Si tu arrives à trouver (a,b,c,d) convenant, tu auras trouvé un polynôme qui répond on problème, et D sera bien surjective ! Je te laisse montrer qu'on a toujours une solution (si j'en crois l'énoncé !)

Après, on nous demande la dimension de Ker D. Ker D, comme tu le sais, c'est l'ensemble des polynômes vérifiant : D(P) = (0,0).

Avec le système qu'on a trouvé avant, ce n'est pas très difficile de conclure (cas X=0 et Y=0)

Voilà, n'hésite pas à demander si tu veux plus de précision !
Amicalement

par **Yipee** » 31 Aoû 2006, 10:34

On peut faire plus élégant avec la formule de Taylor.

par **mathador** » 31 Aoû 2006, 10:49

Pourrais-tu développer un peu, Yipee ? J'ai toujours été maladroit avec les formules de Taylor :triste:

par **xon** » 31 Aoû 2006, 10:56

je pense que Yipee veut dire que comme on a a faire à un polynome de degré 3, on peut l'ecrire exactement comme son devellopement de Taylor en 2 à l'ordre 3 et qu'on voit alors qu'on peut parametrer ce polynome par P(2), P'(2),P''(2),P'''(2) car

P(X)=P(2)+(X-2)P'(2)+...+(X-2)^3/3!*P'''(2)

enfin si j'ai bien compris

par **Yipee** » 31 Aoû 2006, 11:29

Voila, on en déduit que si (a,b) sont deux réels les antécédents par D sont les polynômes de la forme :

où

décrivent

.

C'est un reflexe a prendre de penser aux formules de Taylor sur les polynômes dés que l'on a la valeur d'un polynôme et d'une de ses dérivées en un même point....

par **mathador** » 31 Aoû 2006, 15:08

C'est bon, je retourne au collège :cry: . Merci pour le rafraîchissement, je crois que je vais revoir un peu mes cours pdt les quelques jours de vacances qu'il reste !

par **RadarX** » 31 Aoû 2006, 17:22

mathador a écrit:Salut
Soit P un polynôme de degré inférieur ou égal à 3, il s'écrit :
P = aX^3 + bX² + cX + d et P' = 3aX² + 2bX + c

Ces deux polynômes doivent être évalués en 2 :
P(2) = 8a + 4b + 2c + d
P'(2) = 12a + 4b + c.

Donc en fait, quand on veut trouver un polynôme tel que P(2) = X et P'(2) = Y, avec X et Y donnés, cela revient à résoudre dans R^4 un système d'inconnue (a,b,c,d)

Si tu arrives à trouver (a,b,c,d) convenant, tu auras trouvé un polynôme qui répond on problème, et D sera bien surjective ! Je te laisse montrer qu'on a toujours une solution (si j'en crois l'énoncé !)

Après, on nous demande la dimension de Ker D. Ker D, comme tu le sais, c'est l'ensemble des polynômes vérifiant : D(P) = (0,0).
Avec le système qu'on a trouvé avant, ce n'est pas très difficile de conclure (cas X=0 et Y=0)
Voilà, n'hésite pas à demander si tu veux plus de précision !
Amicalement

Si le pb n'est pas encore resolu, je propose ce qui suit:
Donc chercher a resoudre le systeme de mathador dans

et ce sera gagné.

OU BIEN

savoir que Dim E = 4 (j'ai la preuve pour qui veut des details)
et que dim E = dim kerD + dim Im D.

Il suffira alors de m.q. dim kerD = 2 (c'est vrai cela reste un autre pb!!) ==> dim ImD = 2 ==> Im D =

Par ailleurs l'interet de cette 2é methode que je trouve plus elegante est qu'on repond simultanement aux 2 questions (la 1ère et la deduction).

par **RadarX** » 31 Aoû 2006, 17:28

Yipee a écrit:Voila, on en déduit que si (a,b) sont deux réels les antécédents par D sont les polynômes de la forme :

où décrivent .

C'est un reflexe a prendre de penser aux formules de Taylor sur les polynômes dés que l'on a la valeur d'un polynôme et d'une de ses dérivées en un même point....

Avais pas vu celle-la. Tout aussi elegante!!!!! :stupid_in

par **mathador** » 31 Aoû 2006, 18:34

Ah ! Ca va ! si même RadarX n'avait pas eu le sens de l'élégance de Yipee, c'est que je n'avais aucune chance de trouver cette solution. L'air de rien, je m'en suis voulu tout l'après-midi :cry:
:ptdr:

par **mundu** » 31 Aoû 2006, 20:23

et bien! merci à vous tous, j'ai vu de tout dans vos réponses
j'ai principalement retenu l'idée de mathador, avec les (a,b,c,d) à trouver.
Mais par contre pour montrer que c'est surjectif, je ne voie pas comment trouver les valeurs de a,b,c,d
X = 8a + 4b + 2c + d
Y = 12a + 4b + c
avec X=P(2) et Y=P'(2)...
Comment trouver a,b,c,d ça m'a l'air délicat, faut les trouver en fonction de quoi, on sait juste que D(P)=(P(2),P'(2)), je vois vraiment pas

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