Montrer qu'une application est surjective par cardinalité

[ilvoribu]

Bonjour,

Je dois résoudre l'exercice suivant.
Soit X un ensemble non vide et Y l’ensemble dont les éléments sont les sous- ensembles de X avec 1 ou 2 éléments.
Soit l’application



Je dois prover que f est surjective. Pour cela, je pensais démontrer que par récurrence. Malheureusement, je ne sais pas comment réaliser l'hérédité. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?

Merci beaucoup.

[Ben314]

Salut,
Non, c'est une (très) mauvaise idée et il y a (au moins) trois raisons à cela :
1) Rien dans l'énoncé ne te dit que l'ensemble X est fini donc que son cardinal existe (et je ne pense pas que tu sache ce qu'est le "cardinal" d'un ensemble infini).
2) Même si X et Y sont des ensembles finis (donc que les cardinaux de ces deux ensembles existent), le fait que card(X)card(Y) n'implique absolument pas que toute application de X dans Y soit surjective. Par exemple l'application F de X={1,2,3} dans Y={1,2} définie par F(1)=F(2)=F(3)=1 n'est évidement pas surjective.
3) En utilisant uniquement la définition de la surjectivité (et absolument rien d'autre), la réponse à la question est immédiate (deux lignes) et il n'y a aucune raison de "faire compliqué quand on peut faire simple".

[ilvoribu]

Je comprends...

[ilvoribu]

Salut,
Non, c'est une (très) mauvaise idée et il y a (au moins) trois raisons à cela :
1) Rien dans l'énoncé ne te dit que l'ensemble X est fini donc que son cardinal existe (et je ne pense pas que tu sache ce qu'est le "cardinal" d'un ensemble infini).
2) Même si X et Y sont des ensembles finis (donc que les cardinaux de ces deux ensembles existent), le fait que card(X)card(Y) n'implique absolument pas que toute application de X dans Y soit surjective. Par exemple l'application F de X={1,2,3} dans Y={1,2} définie par F(1)=F(2)=F(3)=1 n'est évidement pas surjective.
3) En utilisant uniquement la définition de la surjectivité (et absolument rien d'autre), la réponse à la question est immédiate (deux lignes) et il n'y a aucune raison de "faire compliqué quand on peut faire simple".

Alors, est-ce que je pourrais dire que ?
Ou bien c'est mieux de créer l'application g telle que :


et alors ?

Merci.

[Ben314]

C'est quoi la définition de "surjective" (en général) ?
Et dans le cas particulier de cet exo., ça veut dire qu'il faut montrer quoi ?

[ilvoribu]

C'est quoi la définition de "surjective" (en général) ?
Et dans le cas particulier de cet exo., ça veut dire qu'il faut montrer quoi ?

Surjective veut dire que tout élément de Y possède un antécédent de X par f.

Dans cet exercice, ça veut dire qu'il faut montrer que tout ensemble {x, y} de Y possède un couple (x, y) de X comme antécédent. Par contre, je ne sais pas vraiment comment le montrer...

[Ben314]

Bon, on va essayer avec un exemple, peut-être y verra tu plus clair. . .
Supposons que X={1,2,3}.
- Décrit Y sous forme exhaustive : Y={ . . . . }
- Idem pour X^2 : X^2={ . . . }
Les éléments de Y admettent-ils tous au moins un antécédent dans X par la fonction f ?
Et plus généralement, pour chaque élément de Y, dire combien il a exactement d'antécédents.

[tournesol]

Ton application est surjective par définition .