Montrer que la distance à un ensemble est lipschitzienne

[mmestre]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice apparament simple..
Il s'agit de montrer que la distance à un ensemble est lipschitzienne de rapport 1.

Voici l'énoncé :
Soit (X,d) un espace métrique et A une partie non vide de X.
On pose , où .
Il faut montrer que est lipschitzienne de rapport 1.
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On doit donc montrer que , pour tout .


Pour commencer, j'ai posé (resp. ) le point de A qui minimise (resp. ).
La relation à montrer devient donc :
.
J'ai essayé toutes les inégalités triangulaires (directes et inverses) possibles, je n'ai rien trouvé..


Voici le petit dessin que j'ai fait dans le cas particulier d'un plan où A est une droite :



Auriez-vous des idées ?
Merci d'avance !

[Finrod]

Tu as pris le problème à l'envers.

Il faut d'abord écrire les inégalité triangulaires, ensuite passer à l'inf.

i.e. soit x dans A

d(a,x) < d(a,b) + d(b,x)

tu prend l'inf du membre de gauche ça donne

donc d(a,A)
--> tu reprends un inf , à droite cette fois et tu as une première inégalité. Par symétrie tu as l'inégalité en Valeur absolue.

[mmestre]

Merci beaucoup !
Je vais essayer ça :)

[girdav]

Pour revenir au premier message : l' n'est pas toujours atteint. Par exemple, si on prend , la distance usuelle et alors mais il n'existe aucun point tel que .

[mmestre]

@finrod : Votre solution est parfaite, merci.
@girdav : Oui très juste, j'aurais dû y penser.. Mon idée n'aurait été valable qu'avec un 'min'. Mais de toute façon ça ne marchait pas :)

[mmestre]

Désolé de rouvrir ce sujet déjà ancien, mais en essayant de refaire la démonstration tout seul je n'ai pas été tout à fait sûr..
Je voudrais juste vérifier si j'ai bien compris les opérations.

Reprenons:

d(a,x) < d(a,b) + d(b,x)

Le terme de gauche est minoré par , donc on a bien :

d(a,A) < d(a,b) + d(b,x)

@Finrod, que voulez-vous dire exactement par "reprendre un inf , à droite cette fois" ?
Est-ce qu'il suffit de dire que l'inf est le plus grand des minorants, donc le minorant (terme de gauche ne dépendant pas de x) du terme de droite dans cette inégalité est lui-même plus petit que l'inf (du terme de droite):
d(a,A) < d(a,b) + d(b,A) [< d(a,b) + d(b,x)]
?

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Ensuite, la fin est OK : je refais la même chose en échangeant a et b et en utilisant d(a,b)=d(b,a) :
d(b,A) < d(a,b) + d(a,A)

Donc on a bien :
-d(a,b) < d(a,A) - d(b,A) < d(a,b)

[Ben314]

Oui, c'est ça, sauf que c'est un peu chiant à lire vu que tu précise pas où sont a,b et x :

Soit a et b dans X.
Pour tout x de A on a d(a,A)<=d(a,x)<=d(a,b)+d(b,x)
donc d(a,A)-d(a,b) est un minorant de l'ensemble {d(b,x) avec x dans A} ce qui montre que d(a,A)-d(a,b)<=d(b,A).

[mmestre]

Merci, c'est OK alors :)