Montrer qu'un ensemble est fermé et borné

[mhalter]

Bonjour,

Je vous donne pour exemple x² + y² < ou = 2

Autre question: Un ensemble peut-il être fermé et borné si l'ensemble qu'on nous soumet est une égalité ? (et pas inégalité comme dans notre cas)

Merci par avance

[Nuwanda]

montrer que c'est borné c'est clair, il suffit de remarquer que c'est borné pour la norme L2, et comme les normes sont équivalentes en dimension finie...

Montrer que c'est fermé tu peux dire que c'est l'image réciproque d'un fermé de R par une fonction continue, ou à la main regarder (xn,yn) qui converge, et où les xn et yn sont à valeurs dans ton ensemble ; par conservation des inégalités larges la limite de la suite reste dans ton ensemble...

[Nuwanda]

J'oubliais : ça reste vrai si c'est une égalité, grâce exactement aux mêmes arguments.