Montrer qu'un champ de vecteurs est un champ gradient

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max_thrust
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Montrer qu'un champ de vecteurs est un champ gradient

par max_thrust » 18 Jan 2009, 11:28

Bonjour à tous,

Je dois montrer qu'un champ de vecteurs V est un champ gradient.

Or, V est un champ gradient s'il existe une fonction f telle qu'en tout point, V est le gradient de f. C'est bien ça ?

On donne V=(y+1/x,x+1/y) défini sur D={(x,y) l x>0,y>0}.

Je pensais donc montrer que f(x,y)=y+1/x et g(x,y)=x+1/y existent sur D, et qu'elles sont continues et dérivables sur D.

Merci de votre aide !



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Sa Majesté
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par Sa Majesté » 18 Jan 2009, 13:04

Bonjour

Si V est un champ de gradient alors il existe f(x,y) telle que



Il faut montrer que

max_thrust
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par max_thrust » 18 Jan 2009, 13:33

Merci beaucoup pour votre réponse.

Alors :





D'où :


Il s'ensuit donc que V est un champ gradient (?).

XENSECP
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par XENSECP » 18 Jan 2009, 13:37

max_thrust a écrit:Merci beaucoup pour votre réponse.

Alors :





D'où :


Il s'ensuit donc que V est un champ gradient (?).



Tu as juste vérifier le théorème de Schwartz ^^

Pythales
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par Pythales » 18 Jan 2009, 13:40

Il te reste à déterminer , ce qui n'est pas très difficile

max_thrust
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par max_thrust » 18 Jan 2009, 14:31

Euh... Pour moi j'intègre et je trouve :

f(x,y) = 2xy + ln(xy)

Mais quand je fais grad(f) je ne retombe pas sur V...
J'ai tout retourné dans tous les sens pourtant.

Je dois bien trouver grad(f) = V et donc trouver f en intégrant non ?

Si oui l'intégration me donne :

f(x,y) = yx + ln(x) + xy + ln(y)
= 2xy + ln(xy)

:id2:

Pythales
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par Pythales » 18 Jan 2009, 17:06

Le 2 est en trop
... et il manque une constante d'intégration.

max_thrust
Messages: 4
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par max_thrust » 18 Jan 2009, 17:51

Oui désolé j'ai finalement trouvé : f(x,y) = yx + ln(x) + ln(y) + c
Merci pour tout !

 

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