Variation de volume à partir d'un champ de vecteurs

[mathieu_t]

Bonjour,

Bon je précise tout d'abord que cela fait un bon moment que je suis passé par la prépa et que depuis j'ai perdu pas mal de choses (dont la rigueur) en maths... Je vais essayer d'être le plus clair possible, mais s'il manque des hypothèses dites le moi.

Voici mon problème : je dispose de deux sufaces et fermées plongées dans .
Je connais la transformation T telle que .

Disons en fait que je connais en tout point le vecteur qui me donne un point de .

Ma question est la suivante : peut-on calculer la variation de volume qu'il y a entre et uniquement à partir de T ? (enfin uniquement à partir du champ de vecteurs) ?

J'ai l'impression que oui, mais je ne parviens pas à mettre le doigt sur la formule qu'il me faut...
En plus, j'ai l'impression qu'il faut aussi démontrer que le calcul est invariant à toute isométrie (translation, rotation etc..)...

[serge75]

Soit D la partie de l'espace engendré par S, D' celle engendrée par S'.
Tu disposes donc d'un champ de vecteur T, et pour tout point M de D, tu as M'=f(M)=M+T(M) (plutôt que M'=T(M), du moins si j'ai bien compris ton énoncé). Je rajoute les hypothèses suivantes : f est un C^1 difféomorphisme de D sur D' : en d'autres termes, f est bijective de D sur D' et son jacobien ne s'annule pas (on peut affaiblir ces hypothèses en demandant seulement que son jacobien ne s'annule que sur une partie de volume nul).
Utilisons alors la formule de changement de variable des intégrales multiples :
Le volume V' de D' est l'intégrale triple sur D'=f(D) de dxdydz.
Donc V' est l'intégrale triple sur D de la valeur absolue du jacobien de f. Je te rappelle pour mémoire la formule du changement de variable :
que tu écris ici avec g=1

[mathieu_t]

Bonjour,

Merci pour ta réponse.

Effectivement c'est bien M'=f(M)=M+T(M) plutôt que M'=T(M)...

Si j'ai bien suivi, D et D' sont des volumes (les volumes délimités par S et S').
Est-ce qu'on peut simplifier ce calcul en n'intégrant que sur les surfaces et non sur les volumes (je crois que c'est le théorème de Stokes non ?) ?

En d'autres termes, peut-on déterminer la variation de volume uniquement à partir des vecteurs de la surface extérieure de chaque volume ?

[serge75]

Je ne crois pas car il ne s'agit pas là d'un calcul de flux. Mais je ne suis pas expert en la matière.
Par ailleurs, oui, D et D' sont les volumes délimités par tes deux surfaces.

[mathieu_t]

C'est bien possible...
En fait je suis allé voir un peu partout, mais c'est un peu confus dans ma tête :hum:

Mais sans aller jusqu'à Stokes, c'est possible ?
J'ai vraiment l'impression "intuitive" que oui, car après tout toute l'information du volume peut se résumer à l'information de sa surface externe...

[mathieu_t]

Bonjour,

Je fais remonter ce topic histoire de ne pas en créer un nouveau.

Je voudrais reformuler ma question, histoire que ça soit plus clair : peut-on calculer le volume qui est compris dans une surface fermée uniquement à partir de la connaissance de cette surface ?

Y a-t-il une formule qui permette de passer de la surface au volume ?

[serge75]

Après consultation de bouquins, tu as la formule d'Ostrogradski qui devrait faire ton affaire :
Si T est champs de classe C1, S une surface ORIENTEE qui délimite un volume V, alors l'intégrale (triple) de la divergence de T sur V est égale au flux de T à travers S, S étant orientée 'vers l'extérieur'.
Il te suffit ici de trouver un champ T dont la divergence soit 1. L'intégrale triple donnera alors ton volume.
Tu peux prendre par exemple T(M)=(x,0,0) pour M(x,y,z).