Moindres carrés sur une équation matricielle

[sylvain231]

Bonjour,
Je souhaiterais appliquer les moindres carrés sur l'équation A=MB où A et B sont des vecteurs 3x1 de connues et M est une matrice 3x3 d'inconnues donc je veux minimiser .
Voilà
Merci de m'aider

[GaBuZoMeu]

C'est un problème simple de minimisation. On cherche un point critique de l'application
.
On calcule l'application linéaire tangente à en regardant la partie linéaire en de . C'est, au facteur près, la forme linéaire

sur l'espace des matrices 3x3.
Exprimer que cette forme linéaire est nulle, ça fait un système de 9 équations linéaires en les neuf inconnues que sont les coefficients de .

[sylvain231]

désolé mais je suis nul en maths et n'ai pas compris

[sylvain231]

je suis informaticien donc comprenant mieux les algos aux formules donc pourriez-vous me donner l'algo à suivre svp en pseudocode et des formules simples partant des données de départ ?

[sylvain231]

car qu'est H et dans votre équation ?

[GaBuZoMeu]

est une matrice 3*3 et est explicitement définie dans mon message.
Si tu veux exprimer le fait que la forme linéaire est nulle comme système de 9 équations linéaires, tu remplaces par les 9 matrices élémentaires de taille 3*3.

Si on a et les neuf équations en les neuf coefficients inconnus de s'écrivent ainsi



pour et .

[sylvain231]

désolé mais je ne comprends toujours pas : qu'est ce que et i ne varie pas de 1 à 9 mais bien de 1 à n car j'ai n équations en entrée

[sylvain231]

merci en relisant attentivement j'ai compris

[GaBuZoMeu]

La matrice élémentaire est la matrice dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui à l'intersection de la ligne et de la colonne qui vaut 1 (je m'aperçois que j'aurais mieux fait de remplacer par pour être consistant avec la formule que j'écris à la suite).

Où as-tu vu que je fais varier de 1 à 9 ? Lis mieux.

Je te signale que j'ai écrit les neuf équations linéaires de manière totalement explicite.
Programmer la résolution d'un système linéaire, après, c'est ton boulot.
Je saurais le faire avec les logiciels que j'ai l'habitude d'utiliser, mais je suppose que ce ne sont pas les mêmes que celui que tu utilises.

[tournesol]

Si A et B sont NON nulles ,il existe une infinité de matrices inversibles M telles que MA=B .
Le minimum est donc 0 pour une telle matrice facile à trouver je pense ... à moins que j'ai un trou dans ma raquette.

[GaBuZoMeu]

Heu, tournesol ???

[tournesol]

J'ai rectifié , mais une infinité de matrices meme non inversibles vérifient l'égalité .

[GaBuZoMeu]

Re-heu, tournesol : n'as-tu pas vu qu'il y a a priori toute une flopée de et de ?

[tournesol]

Merci a toi . Je n'avais rien compris .

[sylvain231]

je vois un problème dans ta dernière équation : tu dis que les inconnues sont les donc j'en conclue que le j est la ligne et le k la colonne mais le k est déjà utilisé en tant que variable muette de la somme ! n'as tu pas fait une petite erreur là ?

[sylvain231]

programmer la résolution d'un système linéaire je sais faire par contre

[GaBuZoMeu]

Non, pas d'erreur. En tout cas, pas celle que tu crois voir.
Dans l'écriture d'une équation linéaire sous la forme , l'indice de l'inconnue est une variable muette. Oui, et alors ?

[sylvain231]

ah c'est bon je pense avoir compris il faut dérouler la somme pour avoir un polynôme en m

[sylvain231]

mais c'est vrai que ta dernière formule est difficile à comprendre car il y a plein d'indices différents

[sylvain231]

merci beaucoup en tout cas