Méthode

[guigui777]

Voilà j'ai un exo tout simple sur les vecteurs dans l'espace, mais je voudrais de la méthode pour trouver des relations linéaires.
Tout d'abord qu'elles sont les propriétés des vecteurs de bases vis a vis des produits scalaire et vectoriel?

ENsuite, on prend par exemple trois vecteurs de coordonnée :
V1(2,3,-1)
V2(1,-1,-2)
V3(0,5,3)
COmment trouver une relation linéaire entre ces trois vecteurs?
et comment compléter (V1,V2) pour obtenir une base de R^3

Enfin et c'est ma dernière interrogation: (une base dans un espace vectoriel)
Un sous ensemble (E') constitué de n vecteurs de (E) est une base si ce sous ensemble est une partie libre et génératrice de E? Mais que signifie partie génératrice et partie libre?
ENsuite, on me dis "alors (E') constitue une base de (E) et un vecteur V s'exprime sous la forme:"???? je ne sais pas du tout! N'ayant jamais fait de cours de cinématique avant je suis un peu perdu...
Merci de vos explications

[nox]

Voilà j'ai un exo tout simple sur les vecteurs dans l'espace, mais je voudrais de la méthode pour trouver des relations linéaires.
Tout d'abord qu'elles sont les propriétés des vecteurs de bases vis a vis des produits scalaire et vectoriel?

aucune propriété particuliere à ma connaissance. Les mêmes que n'importe quel vecteur donc ^^

ENsuite, on prend par exemple trois vecteurs de coordonnée :
V1(2,3,-1)
V2(1,-1,-2)
V3(0,5,3)
COmment trouver une relation linéaire entre ces trois vecteurs?

au feeling plus ou moins. Il faut essayer de trouver k1 et k2 tq :
k1V1 + k2V2 = V3 (impossible ici à cause de la premiere coordonnée nulle)
pas de méthode générale

et comment compléter (V1,V2) pour obtenir une base de R^3

il suffit de prendre un 3eme vecteur qui ne soit pas une combinaison linéaire de V1 et V2 (le plus simple c'est de prendre des coordonnées différentes nulles). En effet si on a une famille libre de 3 vecteurs, comme R^3 est de dimension 3, on sait que cette famille sera maximale et donc génératrice.

Enfin et c'est ma dernière interrogation: (une base dans un espace vectoriel)
Un sous ensemble (E') constitué de n vecteurs de (E) est une base si ce sous ensemble est une partie libre et génératrice de E? Mais que signifie partie génératrice et partie libre?
ENsuite, on me dis "alors (E') constitue une base de (E) et un vecteur V s'exprime sous la forme:"???? je ne sais pas du tout! N'ayant jamais fait de cours de cinématique avant je suis un peu perdu...
Merci de vos explications

une famille {v1, v2, ..., vn} est libre ssi :
k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 équivaut à k1 = k2 = ... = kn = 0.

une famille F {v1, v2, ..., vn} est génératrice de E veut dire que tout élément de E peut s'exprimer comme combinaison linéaire d'éléments de F.
Cad que la famille F comporte assez d'éléments pour reconstituer tout l'espace E.

[guigui777]

une famille {v1, v2, ..., vn} est libre ssi :
k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 équivaut à k1 = k2 = ... = kn = 0..

Attend ca signifie que tous les k sont nuls??? mais alors c'est toujours le cas, jveux dire on peut toujours multiplier tous les vecteurs par 0....

[nox]

Justement il faut que le cas ou les k sont tous nuls soit le seul possible

En fait tu as une famille de vecteurs {v1, ..., vn} et tu veux savoir si elle est libre.

Et pour ca tu regardes :
k1v1 + ... + knvn = 0

si pour avoir 0 on doit obligatoirement avoir k1 = ... = kn = 0 alors la famille est libre.

En fait la famille est libre si aucun vecteur n'est une combinaison linéaire des autres vecteurs.

[guigui777]

Ok et maintenant si tu pouvais un peu plus m'éclairer sur la partie génératrice, tu me dis que c'est une partie génératrice si c'est une combinaison linéaire, mais je ne comprend pas trop, il faut que le sous ensemble E' ne soit pas une combinaison linéaire, (kn=0) donc partie libre, mais aussi une partie génératrice, c'est a dire que tout vecteur de E est une combinaison linéaire....

[nox]

En fait il faut que avec les seuls vecteurs de la base on puisse reconstituer tous les autres éléments de l'ensemble.

Si tu consideres R^3, et sa base canonique v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,0) et v3 = (0,0,1) :

cette famille de 3 vecteurs est libre on voit immédiatement qu'il est impossible que l'un soit une combinaison linéaire des 2 autres.

Et avec ces 3 vecteurs on peut reconstituer n'importe quel élément de R^3.

exemple : (2,3,4) = 2v1 + 3v2 + 4v3

c'est une condition de maximisation.
Si la famille admet 1 seul élément de plus, elle ne sera plus libre puisque cet élément sera forcément une combinaison linéaire des autres vecteurs de la base.

PS : attention à ta terminologie. Quand tu dis "il faut que E' ne soit pas une combinaison linéaire..." ou "il faut que E soit une combinaison linéaire" ca n'a pas de sens car E désigne un ensemble. J'ai dit que aucun ELEMENT de la famille ne doit être une combinaison linéaire d'autres éléments de la famille. Et que tout élément de l'espace doit pouvoir s'exprimer comme une combinaison linéaire d'éléments de la base

Remarque : si tu connais la dimension de l'espace (exemple on sait que R^n est de dimension n) tu connais le nombre de vecteurs dans ta base : n.
Il suffit donc de prendre une famille de n vecteurs et de vérifier qu'elle est libre OU génératrice, mais l'une des 2 conditions suffit dans ce cas.
En résumé dans le cas général pour qu'une famille soit une base, il faut avoir 2 des 3 conditions suivantes vérifiées :
1) La famille est libre
2) La famille est génératrice
3) La famille comporte n éléments, où n=dim(E)

[guigui777]

Super merci beaucoup je comprend beaucoup mieux merci merci merci!!!

[nox]

pas de probleme content d'avoir pu t'aider :happy2:

[rene38]

Salut

on prend par exemple trois vecteurs de coordonnée :
V1(2,3,-1)
V2(1,-1,-2)
V3(0,5,3)
COmment trouver une relation linéaire entre ces trois vecteurs?

au feeling plus ou moins. Il faut essayer de trouver k1 et k2 tq :
k1V1 + k2V2 = V3 (impossible ici à cause de la premiere coordonnée nulle)

Pourtant, V1 - 2V2 = V3 non ?

[nox]

ah oui au temps pour moi merci rene38 j'ai conclu un peu vite :happy2: