glaglagla a écrit:Bonjour,
En cours de Statistiques j'ai quelques exercices à faire sur les modèles d'estimation. J'ai reussi à faire ceux sur le maximum de vraissemblance mais faute de cours et/ou d'exercices, je bloque sur l'exercice suivant qui utilise la méthode des moments... J'ai regardé plusieurs sujets à propos de cette méthode mais dès que je me replonge dans mon exercice je bloque, pourriez-vous m'aider afin que je saississe la "technique" à suivre ?
L'énoncé est le suivant :
Soit X une v.a.r de loi uniforme sur [0;3;)] où 
est un paramètre strictement positif inconnu.
Déterminer l'estimateur par la méthode des moments basée sur E(X) sur la base de n échantillons (X1...Xn) de la loi de X.Merci d'avance pour votre aide et bonne apres-midi à tous !
Bonjour,
Le principe général de la technique des moments est la suivante.
En une ligne la méthode des moments consistent à déterminer la valeur des paramètres qui donnent aux moments de la loi les mêmes valeurs que celles calculées par des estimateurs empiriques d'après les réalisations X1,...,Xn
Si on dispose de réalisations X1,...,Xn d'une variable aléatoire X suivant une loi dépendant de p-paramètres (s1,...,sp) que l'on cherche à estimer, alors il faut calculer p moments de la loi qui font intervenir ces paramètres (généralement les p premiers moments conviennent) :
 = M^d(s_1,...,s_p))
.
Il faut alors calculer un estimateur à partir des réalisations X1,...,Xn pour chacun de ces moments (les estimateurs classiques de la moyenne empirique, variance, etc)
On obtient ainsi des estimateurs
. La méthode des moments consiste alors juste à trouver les paramètres s1,...,sp qui donnent au moments la valeur de nos estimateurs, c'est à dire résoudre le système :
)
qui est un système à p équations et p inconnues. La solution de ce système constitue l'estimateur des paramètres par la méthode des moments. Attention, selon la loi de X, le système n'est pas forcement linéaire et peut être très complexe.
Pour en revenir à l'exemple de cet exercice, c'est ici le plus simple, un seul paramètre à estimer (thêta) donc un seul moment à considérer (la moyenne) et au final une seule Equation à résoudre (donc pas de système).
Pour un thêta donné, la moyenne de X vaut 3/2 * thêta.
or on peut avoir un estimateur de la moyenne en utilisant la moyenne empirique :
Ainsi on résout juste
La solution est l'estimateur par la méthode des moments.
Enfin, pour comprendre intuitivement la différence avec la méthode du maximum de vraisemblance, la méthode des moments fournit un jeu de paramètres qui font correspondre les moments de la loi avec les moments calculés empiriquement, alors que la méthode du maximum de vraisemblance choisit les paramètres les plus probables pour expliquer le tirage des X1,...,Xn. Les deux techniques peuvent donner à n fixé des résultats assez différents selon les cas.
Damien
