Bonjour. Pour etablir la nature d'une serie, on peut appliquer la methode des developpements limitées. J'aimerais, si possible, connaitre les conditions d'utilisation de cette methode.
merci d'avance
Methode des Developpements limités pour la convergence des series
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Methode des Developpements limités pour la convergence des series
par Chuck Nurris » 12 Déc 2008, 10:56
par nyafai » 12 Déc 2008, 11:30
Il me semble me rappeler que le principal intérêt des DL dans le cadre des séries, c'est que pour des séries à termes positifs, si 
équivalent à 
alors les séries des et des ont le même comportement. Les DL peuvent alors être très utiles pour trouver des équivalents simples dont on connait le comportement en séries.
On peut aussi les utiliser pour calculer lim un /vn et si ca tend vers 0 et que la série des vn est convergente alors la série des un est convergente.
On peut aussi les utiliser pour calculer lim un /vn et si ca tend vers 0 et que la série des vn est convergente alors la série des un est convergente.
par Chuck Nurris » 12 Déc 2008, 12:05
Justement, c'est ce que je pensais moi aussi.
Sauf que dans mon cours, on utilisait cette methode aussi pour des series alternées. et ce qui etait plus etrange, c'est que lorsque l'expression resultante n'avait que des termes alternées alors il fallait augmenter l'ordre du DL afin d'avoir au moins un terme a signe constant. je vous donne un exemple :
on veut etudier la serie :^{n}}{\sqrt {n}}))
Solution :
^{n}}{\sqrt {n}}) = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt {n}} + O(\frac{1}{sqrt{n}}))
Comme il n'y a que des termes alternées, on ne peut pas s'arreter la. on continue donc le developpement a l'ordre 2 :
^{n}}{\sqrt {n}}) = \frac{(-1)^{n}}{\sqrt {n}} - \frac{1}{2n} + O(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}))
et puisque le developpement est une somme d'une serie convergente (^{n}}{sqrt{n}})
) et d'une autre divergente (
). Alors la serie est divergente.
J'aimerais vraiment beaucoup avoir des éclaircissements. Merci d'avance.
Sauf que dans mon cours, on utilisait cette methode aussi pour des series alternées. et ce qui etait plus etrange, c'est que lorsque l'expression resultante n'avait que des termes alternées alors il fallait augmenter l'ordre du DL afin d'avoir au moins un terme a signe constant. je vous donne un exemple :
on veut etudier la serie :
Solution :
Comme il n'y a que des termes alternées, on ne peut pas s'arreter la. on continue donc le developpement a l'ordre 2 :
et puisque le developpement est une somme d'une serie convergente (
J'aimerais vraiment beaucoup avoir des éclaircissements. Merci d'avance.
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