Matrices unipotentes

par **Nightmare** » 19 Fév 2010, 15:46

Salut à tous !

Soit E un k-ev et G un sous-groupe de GL(E) composé de matrices ayant 1 pour seule valeur propre. Montrer que tous les éléments de G sont simultanément trigonalisables.

Amusez-vous bien :happy3:

Edit :

. Contre exemple en dimension infinie?

par **Ben314** » 19 Fév 2010, 16:41

(Re)Salut,
Je pense qu'il faut (bien entendu) supposer que les matrices on comme seule valeur propre 1 dans la clotûre algébrique de k ?

par **Nightmare** » 19 Fév 2010, 17:02

En fait on peut supposer k algébriquement clos, s'il ne l'est pas, on définit les matrices unipotentes comme les I+N avec N nilpotente et on contourne le problème.

:happy3:

par **alavacommejetepousse** » 19 Fév 2010, 17:03

des matrices de taille infinie ? on fait de la meca q ?

par **Nightmare** » 19 Fév 2010, 17:05

On peut toujours parler d'endomorphismes :happy3:

par **Ben314** » 19 Fév 2010, 17:11

Nightmare a écrit:On peut toujours parler d'endomorphismes :happy3:

Oui, mais la notion d'endomorphisme nilpotent peut alors s'interpréter de deux façons distinctes :
1) Pour tout x de E il existe un n tel que f^n(x)=0 "f est faiblement nilpotente"
2) Il existe un n tel que f^n=0 "f est fortement nilpotente"
Le deux notions ne coïncident qu'en dimension finie...

Exemple, sur k[X], la dérivation n'est que "faiblement nilpotente"...

par **Nightmare** » 19 Fév 2010, 17:12

Hum, je ne connaissais pas cette distinction et ai toujours considéré seulement la deuxième.

par **Joker62** » 20 Fév 2010, 00:53

Haileau.

ça me fait penser au théorème de Lie-Kolchin moi ce machin :o

par **ffpower** » 20 Fév 2010, 01:13

Ca me fait penser a un exo moi aussi, c'est bien possible que ce soit le theo de Lie-bidule. Est ce que ca parle de groupe connexe résoluble? :id:

Bref, vais réléchir a ton exo Night..

par **Joker62** » 20 Fév 2010, 10:08

Oui Lie-Kolchin ça dit que tout sous-groupe connexe résoluble de GLn(C) est trigonalisable

par **Nightmare** » 20 Fév 2010, 13:39

Salut vous deux :happy3:

Joker > Lie je sais pas, Kolchin oui en tout cas. Je ne connais pas la généralisation à tout sous-groupe résoluble connexe de GLn(C) mais a priori "ma" preuve (qui n'est pas la mienne) s'adapte.

par **ffpower** » 20 Fév 2010, 13:56

Histoire de faire avancer le shmilblik, voilà ou j'en suis:
Soit A l ensemble des M-I, pour M parcourant G. Par hypothese, A est constitué de matrices nilpotentes

-Si N1 et N2 sont dans A, alors N1+N2+N1*N2 est dans A ( il suffit de développer (I+N1)(I+N2) ), donc nilpotente, et en prenant la trace on obtient tr(N1*N2)=0

-Par reccurence, en développant (I+N1)...(I+Np), on a en fait que pour tout N1,...,Np de A, tr(N1*...*Np)=0

-On en déduit que si N1,N2 appartient à A, a,b dans K, pour tout entier p, tr[(a*N1+b*N2)^p]=0, et tr[(N1*N2)^p]=0, et donc ( fait classique ) que a*N1+b*N2 et N1*N2 sont nilopotentes

-L'algebre ( non unitaire ) engendrée par A est donc constitué de matrices nilpotentes

Il suffit donc de montrer ( c'est même équivalent ) que si on a une sous algebre de Mn(K) dont tous les éléments sont nilpotents, alors tous ses éléments sont simultanément trigonalisables.
( et à mon avis, ceci est même vrai en remplacant "sous algebre" par "sous espace vectoriel" )

par **Ben314** » 20 Fév 2010, 16:21

(Re)Salut (cette fois c'est sûr !!! :dodo:)
En partant de ce qu'a fait ffpower, je me demandais comment trouver dans son algèbre (ou e.v.) de nilpotente celle de "noyeau minimal".
J'ai essayé de voir si, étant donné A et B fixées il existait

et

dans

tels que

mais... c'est faux.
Par contre, je conjecture qu'il existe un "polynôme non commutatif en deux variables" sans terme constant

tel que

...
Est-ce vrai ?

par **Ben314** » 20 Fév 2010, 16:25

Nightmare a écrit:...Disons que ça a un petit côté brûlant.

Ch'uis pas trop guère fort en charade... ni en nom des théorèmes comme tu as du le constater....
Brulant, Brulant,.... Burnside ?

par **Nightmare** » 20 Fév 2010, 16:34

bingo :happy3:

Pour revenir à ton post, je n'arrive pas à voir pourquoi on ne peut pas trouver alpha et beta vérifiant ton égalité. Comment justifies-tu cela?

par **ffpower** » 20 Fév 2010, 16:45

Par rapport a ce que j ai fait : le lemme tr(A^p)=0=>A nilpotente ne marche pas en carac finie, faut donc trouver un autre argument dans ce cas la..

Et un ami m'a dit qu'on peut trouver des sev nilpotents non simultanément trigonalisables. A oublier donc, cette généralisation..

par **Ben314** » 20 Fév 2010, 16:47

Soit je me suis gourré, soit les matrices

représentent un contre exemple...

par **Nightmare** » 21 Fév 2010, 14:14

Re salut à tous !

Ben314 > Ok pour le contre exemple, je confirme qu'il marche.

Pour continuer dans vos recherches, je vous invite à montrer que tr((M-I)X) est nulle pour toute matrice X.

par **Joker62** » 21 Fév 2010, 18:00

Comme ça de tête j'partirai en utilisant la densité des matrices diagonalisable et le corollaire de Hahn-Banach où bien une décomposition de Dunford.

Faut j'prenne un crayon, j'le ferais après avoir fait à manger :D

par **Nightmare** » 21 Fév 2010, 18:19

Salut Joker62 > Nos endomorphismes étant de la forme I+N avec N nilpotente, ils sont déjà sous forme décomposée de Dunford !

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