Matrices semblables sans valeur propre réelle

[Skullkid]

Bonjour, j'ai du mal avec le bout de problème suivant :

Soit A une matrice de telle que .

1 - Montrer que A n'a pas de valeur propre réelle.

2 - Si E est la matrice obtenue à partir de par utilisation d'une opération élémentaire, comment déduit-on de A ? On distinguera les trois opérations élémentaires codées sous la forme :
a)
b) avec
c)

3 -
a) En utilisant 1, montrer qu'il existe tel que .

b) En utilisant des opérations élémentaires, en déduire qu'il existe telle que si alors si et .

c) Montrer alors que si et .

Je bute sur la dernière question, c'est peut-être à cause de "l'algorithme" que j'ai utilisé pour transformer A en A' à la question b) :

On part de la matrice A, il existe tel que . On effectue la suite d'opérations élémentaires suivantes :

qui correspond à une multplication à gauche par
qui correspond à une multiplication à droite par


(sachant qu'ici le est le même lors des deux opérations)

Pour tout :

(sachant qu'ici le est le même lors des deux opérations)

Avec ça, j'obtiens bien une première colonne de la forme demandée, mais j'arrive pas à prouver que la deuxième colonne est devenue .

Je suppose qu'il y a déjà un problème d'écriture au niveau de mes opérations, puisqu'au fur et à mesure ça n'est plus les que je manipule, mais j'arrive pas à l'écrire "proprement".

Quand je le fais sur une matrice 2-2 ça me donne , ce qui est bien la forme demandée puisque , et que (puisque X²+1 est le caractéristique de A dans ce cas particulier), mais je vois pas comment le généraliser à une matrice n-n.

Merci à ceux qui auront eu le courage de me lire et qui pourront m'aider.

[Skullkid]

J'ose un up, histoire de. x)

[Skullkid]

Autre chose qui m'inquiète (et up au passage) : sur mon exemple 2-2 j'ai pu conclure grâce au polynôme caractéristique, mais si j'ai une matrice n-n, X²+1 n'est plus le caractéristique (je présume que , on a montré plus tôt dans le problème que n était pair), tout ce que je peux en tirer, enfin je crois, c'est le déterminant égal à 1.

Pour conclure sur une matrice n-n, j'aurais tendance à penser que je dois utiliser .

[Skullkid]

Je suis parvenu à réécrire la suite d'opérations élémentaires rigoureusement (sauf erreur), avec les qui désignent les coefficients de la matrice A d'origine, si ça peut vous inspirer davantage...







A faire sauf si :



Pour tout :