Ev de matrices non inversibles dans M3(R)

[acteon2]

Bonjour, j'essaie de montrer qu'un ssev de M3(R) constitué de matrices non inversibles a une dimension <=6.
pour ça j'essaie de montrer qu'il existe un vecteur non nul commun au noyau de toutes ces matrices, pour me ramener par changement de base à l'ensemble des matrices de première colonne nulle.
Mais en raisonnant par l'absurde, après avoir posé M1 , M2, M3 telles que M1(e1) , M2(e2), M3(e3) non nuls ((e1,e2,e3) base canonique de R^3) je bloque un peu.
Qqn a t il une idée? sans passer par un résultat plus général avec le lemme de Flanders etc..
Merci!

[SuperPoule]

...montrer qu'il existe un vecteur non nul commun au noyau de toutes ces matrices...

Bonjour,
j'espère ne pas dire de grosses bêtises, mais es-tu sûr de ta démarche ?
Parce que si je considère le s.e.v. de contenant toutes les matrices telles que la troisième ligne est la somme des deux premières alors ne contient que des matrices non inversibles et :
est de dimension 6 et aucun vecteur non nul n'est commun aux noyaux de toutes ces matrices.
Ou alors j'ai (encore) loupé quelque chose ?

[acteon2]

Bonjour et merci pour ton message! Tu as tout à fait raison!
Donc, mon idée ne marche pas.
Par hasard aurais tu une piste à proposer?
Merci en tout cas ça m'a fait avancer!

[SuperPoule]

Pas de réponse rapide.
Cependant en cherchant un peu dans la littérature, j'ai vu qu'il y a une preuve du cas général dans "Oraux X - ENS, Algèbre Tome 1, p.331" :
Si V est un sev de M_n(R) tel que toute matrice de V à un rang inférieur ou égal à p alors dim(V) <= np.
Il doit être possible de s'en inspirer pour faire une preuve plus élémentaire dans ton cas ?
Dans le livre en question ils construisent petit à petit une application linéaire injective de V dans M_p(R)xM_{p,n-p}(R)

[acteon2]

Merci c'est gentil pour la référence, je connais des démos de ce résultat (c'est le lemme de Flanders que j'évoquais au tout début), le fait que r=n-1 simplifie un peu , le fait que n=3 un peu aussi, mais je pensais/pense qu'on pouvait faire plus simple. Je vais en rester là cela dit je pense.
Merci à toi