Matrices inversibles

[Don vito]

Salut,
Ma première question:
Qu'elle est la structure de Gln(K) un groupe?Autrement dit le produit de matrices inversibles est toujours inversible c'est bien ça?
Ma deuxième question:
Si A, P, G sont des matrices inversibles tque; P'AP=G'AG (ou P' et G' représentent respectivement les inverses de P et G ) alors peut on dire que P= G ( quelque chose comme représentation du même endomorphisme ?

Et Si vous avez d'autres remarques à ajouter à ce propos je vous prie bien d’être généreux :D/
( je voudrais aussi savoir si c'est possible de supprimer un msg sur ce forum et comment)

Merci

[Skullkid]

Bonjour, oui GLn(K) est un groupe (GL ça veut dire "groupe linéaire"), puisqu'il vérifie les 4 axiomes de groupe : le produit de deux matrices inversibles est une matrice inversible, l'identité est une matrice inversible, le produit matriciel est associatif et tout matrice inversible est inversible (!)

Pour ta deuxième question, non. Prendre A égale à l'identité par exemple.

[Don vito]

Ok merci Skullkid.Je voudrais aussi savoir qu'est ce qu'ont de plus deux matrices semblables par rapport à deux matrices équivalentes mis à part la différence dans l'expression ou on trouve la matrice de passage et son inverse pour l'une ...etc.J'en ai surtout besoin pour juger si deux matrices sont semblables ou pas , là je suis sur un exemple ou deux matrices ont le même déterminant , la même trace...qu'est ce que je dois vérifier le poly caractéristique?

[Skullkid]

Pour deux matrices, être semblables c'est beaucoup plus restrictif qu'être équivalentes. Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang, alors que deux matrices de même rang ne sont pas forcément semblables.

Si on te demande si deux matrices sont semblables, la première chose à faire est en effet de tester l'égalité des traces, des déterminants et des polynômes caractéristiques (dans cet ordre : du plus simple au plus compliqué). S'il y a une différence à un moment, c'est que les matrices ne sont pas semblables. Sinon, tu ne peux pas encore conclure et tu peux par exemple essayer de réduire tes matrices pour continuer.

[Don vito]

Une autre question: peut on parler de matrice permutation? yen a til? est il possible de trouver une matrice inversible qui permute ligne et colonne? parce que la je crois que ça peur servir ...mais j'ai aucune idée quant aux matrices permutations.

[Skullkid]

Les matrices de permutation sont les matrices carrées qui ont exactement un seul 1 par ligne et par colonne et des 0 partout ailleurs. Multiplier une matrice par une matrice de permutation revient à permuter ses lignes ou ses colonnes, selon qu'on multiplie à droite ou à gauche.

De même il y a les matrices de transvection qui ajoutent un multiple scalaire d'une ligne (ou d'une colonne) à une autre ligne (ou une autre colonne) et les matrices de dilatation qui multiplient une ligne (ou une colonne) par un scalaire. Pour plus de précisions tu peux chercher "opérations élémentaires sur les matrices".

[Don vito]

Ok merci Skullkid