Matrices en blocs

[Diaz]

Bonsoir à tous!

S'il vous plaît,aidez-moi pour ce problème d'algèbre(j'ose espérer qu'il sera le dernier,car l'analyse m'attend):
Dans la suite,t(A),A2 et A-1 désignent resp. la transposé,le carré et l'inverse de la matrice A.
Soit A une matrice réelle de type(n,p),avec p1)On suppose D nulle.
a)Etudier la diagonalisation de M
b)Montrer que M=PC,où P est une matrice orthogonale et C diagonale.

2)On suppose à présent que D=(R2)I,où R est une matrice et I la matrice identité.
a)Etudier la diagonalisation de M.
b)Montrer que A=QG,où Q est orthogonale et G diagonale.
3)On suppose ici que D est définie positive.
a)Montrer que M est inversible.
b)Exprimer M-1 en fonction de A,t(A),D et leurs inverses.
-S'il vous plaît,afin que je comprenne bien,veuillez énoncer les théorèmes que vous utilisez;
-explicitez aussi votre raisonnement,je vous en prie,car j'ai pas de lacunes sur les rangs de matrices.
MERCI D'AVANCE!

[abel]

a°) M est diagonale car elle est symetrique donc elle se diagonalise dans une base orthonormée.

b°)en fait je pense (c'est à confirmer) que toutes les colones de M sont orthogonales entre elles, donc il suffit de prendre une matrice othogonale (ici P) de la multiplier par les bons coef d'une matrice diago (qui auront pr effet de lultiplier les collone par les scalaires) exemple :
1 2
-1 2
M aura une forme de ce genre, on voit que les prduits calaires entre colone est nul donc en fait ca fait
1/r(2) 2/r(8)--------r(2) 0
-1/r(2) 2/r(8)---*-- 0 r(8)
r designe racine carré
(en fait le terme 1,1 de la diaognale multiplie P par r(2) etc...en fait il faut voir le mecanisme, je pense pas qu'il y ait de theoreme du cours à appliquer)

[Diaz]

Abel,excuse-moi,mais j'ai modifié l'énoncé:j'avais oublié de préciser que le rang de A est égal à p:cela ne change-t-il rien à ton raisonnement?

[Diaz]

Répondez-moi,je vous en prie:Au secours!

[Diaz]

Après m'avoir aidé pendant si longtemps,vous m'abandonnez tous?Plus personne ne s'intéresse à mes sujets;que vais-je alors devenir sans vous,Abel_b,El_Gato,Yos,et les autres?Je vous prie de m'aider,je vous en supplie!

[Diaz]

ça n'inspire tjrs personne?

[abel]

Ca change pas grand chose à mon raisonement.
uM (l'endo associé à M) est injectif car si uM(X)=0 donc t(A)X est dans Ker uA et Ker uA={0} (car rg(A)=p donc X=0
- Du coup M est symetrique et inversible elle est presque orthogonale, il suffit de normer les collone de M c'est à dire de multiplier les collones de M (Ci) par un scalaire ai=||Ci|| donc M*(matrice diago des ai) = P (qui est bien orthogonale) donc M=P*(l'inverse de la diago) (qui est tj diago)
...apres tu devrais trouvr pr les autres questoins, c'est le meme principe