Matrice : valeurs propres

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai quelques lacunes. Je n'arrive pas à comprendre comment on trouve les valeurs propres d'une matrice R, après avoir obtenu le système |R - ;).I| = 0.

J'apprécierais que l'on me l'explique simplement ? :help:

Merci.

[fahr451]

lambda notée a est valeur propre de R ssi
R-a I est non inversible donc ssi le déterminant de R-aI est nul
il suffit de savoir calculer un déterminant et de "voir" où il s 'annule.

[Anonyme]

Très bien, merci !
J'ai trouvé ici comment calculer ce déterminant.
Si j'ai bien compris, ça n'est valable qu'avec les matrices carrées ?

[BQss]

Très bien, merci !

J'ai trouvé ici comment calculer ce déterminant.

Si j'ai bien compris, ça n'est valable qu'avec les matrices carrées ?

Tu vas avoir du mal a calculer le determinant de matrice qui ne sont pas carrées...

Tes valeurs propres sont associées a des espaces de vecteurs de directions invariantes( par la transformation representé par la matrice).
Le but c'est de chercher une base qui est invariante de tel sorte que tes coordonnées images depende lineairement des coordonnées d'origine dans la base de depart.

Si ta matrice n'est pas carré, elle ne represente pas une bijection a cout sur et tu ne pourras plus trouver une base invariante car les vecteurs de la base de depart et de la base de l'espace d'arrivée n'ont pas la meme dimension, ca n'a donc plus de sens de chercher des vecteurs de directions invariantes, ils sont exprimés dans des espaces de dimension differentes.

[fahr451]

tu n 'as pas de cours sur le déterminant ?

alors évite de chercher les valeurs propres avec le déterminant ....

charche plutôt a pour que le système linéaire d'inconnue X ( colonne)

(R-aI)X = 0 admette des solutions non nulles en X .
(opérations sur les lignes etc etc pivot de gauss)

[Anonyme]

C'est censé être de l'acquis des années précédents, mais j'ai tout oublié. J'en ai besoin pour faire des analyses en composantes principales.

Maintenant que tu me le dis, les opérations sur les lignes et le pivot de Gauss, je me rappelle avoir fait ça en première année d'IUT. Je suis étudiant en informatique, et les maths c'est vraiment mon tendon d'Achille !

En tout cas merci pour votre aide et vos conseils.

[BQss]

C'est censé être de l'acquis des années précédents, mais j'ai tout oublié. J'en ai besoin pour faire des analyses en composantes principales.

Maintenant que tu me le dis, les opérations sur les lignes et le pivot de Gauss, je me rappelle avoir fait ça en première année d'IUT. Je suis étudiant en informatique, et les maths c'est vraiment mon tendon d'Achille !

En tout cas merci pour votre aide et vos conseils.

analyse en composante principale, c'est simple tu projetes ton vecteur aleatoire(ou tes données dans le cadre experimentale) sur les sous espaces propres de la matrice de covariance. Il te faut donc calculer une base orthonormée de vecteur propre(on est dans le cas de matrie symetrique). Pour ca tu calcules les valeurs propres, puis les bases associées.

Tu ranges ensuite tes valeurs propres par ordre decroissant, la plus grande defini le premier vecteur propre etc.

Tu as alors un nouveau systeme de coordonnée, ou tu exprimes ton vecteur de données dans chacun des nouveau espace propre.

Tu sais que en fait la projection sur l'espace associé a la plus grande valeur propre, realise la variance maximale parmis toute les directions de projections possibles.

Si tu veux visualiser le truc, si par exemple tu as un nuage de point, tu vas projeté tes points sur la droite qui coupe le nuage en deux dans le sens de la longueur. Et tu sais que c'est sur cette droite que les données sont le mieux representé parmis toutes les droites possibles car elle rend compte au mieux des variations car parallele a l'axe de variance maximale.

Ensuite on fait pareille dans les autres directions.



En generale pour des données de dimension n, la projection suivant le premier et le deuxieme espace propre rendent bien compte de la dispertion des variables et permettent de transformer un probleme n dimensionnel en un probleme a deux dimensions.