Matrice triangulaire, valeur propre, noyau

[Mukito]

Bonjour.

Voici mon problème:

On se dote d'une matrice triangulaire supérieure n*n et les termes de la diagonale sont les n premiers entiers naturels 1,2,3,...n.

On l'appelle A et on ecrit la matrice A - lambda*I.

On voit alors que les valeurs propres sont les termes de la diagonale de A.

Soit k une valeur propre et faisons A-kI. On obtient une matrice de rang n-1. (méthode du pivot).

Je voudrais s'avoir comment exprimer ker(f-kid) où f est l'endomorphisme associé à A.

Merci pour votre aide. :lol3:
Mukito

[Nightmare]

Salut,

reviens à la définition. Qu'est-ce que Ker(f-kId) ?

[Mukito]

Ca y'est j'ai compri :ptdr:

En faisant (f-kId)(ek) où ek est le k-ième vecteur de la base dans laquelle on a exprimé la matrice, on exprime exprime (f-kId)(ek) comme combinaison linéaire des vecteurs e1, e2, ..., ek-1.

Finalement, on peut exprimer chaque ei pour i allant de 1 à k-1 comme combinaison linéaire des
f(ei)

En effet, ici par exemple , f(e1) = e1. Ainsi de suite.

Et, conclusion, le vecteur du noyau de f-kId est de la forme ek + une combinaison linéaire des ei, pour i
allant de 1 à k-1.