Matrice symétrique

[mehdi-128]

Bonsoir,

Pourquoi une matrice symétrique réelle inversible ne peut pas avoir de valeur propre nulle ?

Merci

[Niska1]

Une matrice symétrique à coefficients complexes peut ne pas être diagonalisable. Par exemple, la matrice
1 i
i -1
admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle. L'analogue complexe des matrices symétriques réelles est en fait les matrices hermitiennes (qui, elles, sont diagonalisables).

[Lostounet]

Une matrice symétrique à coefficients complexes peut ne pas être diagonalisable. Par exemple, la matrice
1 i
i -1
admet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle. L'analogue complexe des matrices symétriques réelles est en fait les matrices hermitiennes (qui, elles, sont diagonalisables).

Ça fait vraiment flipper.. n'avais tu pas besoin d'aide sur un DM niveau Lycée ? :p

[Niska1]

Si, sauf que j'ai un esprit de débrouillard, j'ai donc cherché la définition d'une matrice symétrique sur Wikipédia, CTRL +F et tappé " nul ", ce qui m'a amené à faire un copieé collé de Wikipédia, que je trouvais pertinent

[Lostounet]

Si, sauf que j'ai un esprit de débrouillard, j'ai donc cherché la définition d'une matrice symétrique sur Wikipédia, CTRL +F et tappé " nul ", ce qui m'a amené à faire un copieé collé de Wikipédia, que je trouvais pertinent

Toi.. tu as ce qu'il faut pour réussir dans la vie.

[Niska1]

C'est gentil merci, mais pour réussir il faudrait que je finisse mon DM Lycée pour commencer :rire:

[Lostounet]

C'est gentil merci, mais pour réussir il faudrait que je finisse mon DM Lycée pour commencer :rire:

Si tu veux on peut réussir demain car j'ai sommeil :p..

[Niska1]

J'oublie toujours qu'il n'est que 19heures chez moi, si tu as le temps de me répondre demain, tu dormiras quand je rentrerai chez moi Bonne nuit

[Lostounet]

J'ai pas regardé ton IP pour savoir où tu habites.. mais ici il est minuit

[Kolis]

@ mehdi-128 : Aucune matrice inversible ne peut avoir de valeur propre nulle.

[mehdi-128]

Si je prends une matrice symétrique Q réelle inversible alors elle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres d'après le théorème spectral.

donc :

Donc si D contient une valeur propre nulle le déterminant de Q est nul donc Q n'est pas inversible.

C'est juste ?

[Pseuda]

Bonjour,

C'est encore plus simple que ça. Comme l'a écrit Kolis : "Aucune matrice inversible (symétrique ou non) ne peut avoir de valeur propre nulle".

Supposons que M soit une matrice inversible qui a une valeur propre nulle. Alors il existe un vecteur X non nul (vecteur propre associé à la valeur propre 0) tel que MX=0X=0. Comme M est inversible, on en déduit que M^(-1)*MX=0, soit X=0, ce qui est contradictoire avec X non nul.

Dès qu'il existe X non nul tel que MX=0, M est la matrice d'un endomorphisme non injectif (de noyau différent de 0), donc non bijectif, donc M ne peut pas être inversible.

[mehdi-128]

Bonjour,

C'est encore plus simple que ça. Comme l'a écrit Kolis : "Aucune matrice inversible (symétrique ou non) ne peut avoir de valeur propre nulle".

Supposons que M soit une matrice inversible qui a une valeur propre nulle. Alors il existe un vecteur X non nul (vecteur propre associé à la valeur propre 0) tel que MX=0X=0. Comme M est inversible, on en déduit que M^(-1)*MX=0, soit X=0, ce qui est contradictoire avec X non nul.

Dès qu'il existe X non nul tel que MX=0, M est la matrice d'un endomorphisme non injectif (de noyau différent de 0), donc non bijectif, donc M ne peut pas être inversible.

Bien vu