Matrice symétrique définie positive

[girdav]

Bonjour.
J'ai rencontré le théorème suivant:
Une matrice symétrique est définie positive
si et seulement si chacune de ses sous-matrices principales a un déterminant strictement positif.
Le sens direct n'est pas difficile à montrer: c'est l'autre sens qui me paraît plus délicat.
Avez-vous des idées de démonstration?

[alavacommejetepousse]

bonsoir quelle
implication donc?

[girdav]

En fait, si une matrice est symétrique définie positive ses sous-matrices le sont donc leur déterminant est strictement positif.
C'est dans l'autre sens que je ne vois pas. Peut-être un raisonnement par l'absurde.

[Nightmare]

Salut !

J'ai essayé et ça se fait bien par récurrence sur la dimension. Je cherche une preuve plus visuelle.

[Nightmare]

Autre idée : il me semble qu'on peut écrire que notre matrice est de la forme où P est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale et D diagonale avec (où les Delta sont les mineurs principaux) ce qui prouve bien notre truc.

Pour avoir cette réduction, il faut regarder la matrice dans la base et où M(i,j) est le cofacteur associé à (i,j) et (ei) la base canonique.

[alavacommejetepousse]

oui par récurrence en travaillant avec la forme bilinéaire associée

[Ben314]

Salut,
moi, j'ai eu la flemme de retrouver la preuve du.... critère de silvester, alors j'ai fait le fainéant de base : GOOGLE : "critère de silvester" =>
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive

mais, faut pas le faire si on est courageux......

[girdav]

Ah oui, je n'avais pas pensé à la récurrence. Ça permet de démontrer pas mal de problème en algèbre (bi)linéaire. Merci à tous.

[Nightmare]

Je précise un peu ma deuxième démo que je trouve intéressante dans les déductions qu'on en fait.

Je note la forme polaire associée à notre matrice.

Avec les notations de mon premier post, on remarque que la famille des (xi) est orthogonale pour phi. La matrice de passage des (ei) aux (xi) est bien triangulaire supérieure avec une diagonale de 1.

On a très rapidement pour k plus grand que 2 (car la somme n'est autre que le développement du déterminant de la sous-matrice par rapport à la dernière colonne.)

On a bien la forme obtenue. On en conclut le critère de Silvester et en observant bien, la réduction obtenue donne l'algorithme d'Orthonormalisation de Gram-Schmidt ainsi que la signature de la forme quadratique définie-positive.

[girdav]

Salut,
moi, j'ai eu la flemme de retrouver la preuve du.... critère de silvester, alors j'ai fait le fainéant de base : GOOGLE : "critère de silvester" =>
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive

mais, faut pas le faire si on est courageux......

Ce n'est pas une question de "courage", il fallait savoir que ça s'appelle "critère de Sylvester".

[alavacommejetepousse]

Bonjour
quatre ans après quel courage

[girdav]

Bonjour
quatre ans après quel courage

C'était juste pour taquiner Ben314 : je partage la même opinion que lui concernant le nom des théorèmes.

[alavacommejetepousse]

j'ignore qu'elle est son opinion
je me risque à penser qu'il n'aime pas les noms et plutôt les résultats

serais assez d'accord pour privilégier également le résultat mais le nom a une fonction malgré tout
moyen simple de se rappeler quelque chose qui l'est moins ex :
carathéodory et le tour est joué

[girdav]

j'ignore qu'elle est son opinion
je me risque à penser qu'il n'aime pas les noms et plutôt les résultats

serais assez d'accord pour privilégier également le résultat mais le nom a une fonction malgré tout
moyen simple de se rappeler quelque chose qui l'est moins ex :
carathéodory et le tour est joué

Je ne sais pas si Carathéodory est un bon exemple (en l'occurrence je ne vois pas à quoi vous faites référence).

Par exemple, le terme "théorème de convergence monotone" est plus explicite que "Beppo-Levi".