Matrice symétrique semi-définie positive

[Glxblt76]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait-il expliquer en termes concrets ce que signifie "semi-définie" (là je ne vois pas du tout) ; positive (ça veut dire dont toutes les valeurs sont positives ?) ; symétrique (ça veut dire qu'il y a la même chose de chaque côté de la diagonale ?)

Si vous utilisez des équations, pouvez-vous les accompagner de texte pour bien faire apparaître à quoi chaque terme correspond et le raisonnement caché derrière l'équation ?
En effet, l'article wikipédia sur la question est tout simplement absolument illisible et incompréhensible pour moi.

Merci par avance,
Cordialement,
Glx.

PS : j'ai un niveau de compréhension de base en algèbre linéaire. Je travaille dans le domaine de la chimie théorique, et c'est pourquoi je comprends les mathématiques par le versant concret, avec des illustrations, et des explications détaillées, non pas simplement en lisant les symboles :lol3:

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semi def positive c'est les valeurs propres sont toutes positives ou nulles.
alors que definie positive, c'est toutes positives non nulles.

symétrique (ça veut dire qu'il y a la même chose de chaque côté de la diagonale ?)

oui

ex:

est semi def positve (valeurs propres 1 et 0)
alors que


est def positive

[Glxblt76]

Merci pour ces premiers éclairages.

J'ai une autre question qui me handicape souvent pour l'équation de Schrödinger : je n'arrive pas exactement à comprendre ce que signifie "valeur PROPRE".

Pourquoi en est-on venu à cette notion de "PROPRETE", intuitivement parlant, et à quoi cela correspond-il en termes de propriétés.

Merci par avance.
Cordialement,
Glx.

PS : donc pour qu'une matrice soit symétrique, il faut forcément qu'elle soit carrée, non ?

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J'ai une autre question qui me handicape souvent pour l'équation de Schrödinger : je n'arrive pas exactement à comprendre ce que signifie "valeur PROPRE".

Lire la définition d'une valeur propre et comment les trouver.

Pourquoi en est-on venu à cette notion de "PROPRETE", intuitivement parlant, et à quoi cela correspond-il en termes de propriétés.

Je ne sais pas. Peut-etre ce lien pourra t'aider.

PS : donc pour qu'une matrice soit symétrique, il faut forcément qu'elle soit carrée, non ?

c'est quoi la définition d'une matrice symétrique

[DamX]

Pourquoi en est-on venu à cette notion de "PROPRETE", intuitivement parlant, et à quoi cela correspond-il en termes de propriétés.

Bonjour,

Ce n'est pas "propre" de propreté. C'est propre au sens de "qui caractérise, qui appartient" comme dans "le rire est le propre de l'homme", ou "C'est une coutume propre à cette région".

Tout comme ailleurs en science, il y a la "fréquence propre" pour une structure par exemple.

Et en ce qui concerne les valeurs propres, elles méritent bien ce nom puisqu'une matrice représente une application linéaire dans une certaine base, et si tu changes de base, tu changes la matrice, mais pas les valeurs propres, elles sont une caractéristique intrinsèque de l'application linéaire sous-jacente.

Damien

[Glxblt76]

Concrètement les valeurs propres à l'application linéaire associée à cette matrice sont les éléments de cette matrice, tandis que si la base était changée, les valeurs de l'application linéaire ax + by + cz changeraient, c'est ça ?

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Concrètement les valeurs propres à l'application linéaire associée à cette matrice sont les éléments de cette matrice

non

, tandis que si la base était changée, les valeurs de l'application linéaire ax + by + cz changeraient, c'est ça ?

je comprends pas.

Concrètement il faudrait que tu poses des questions claires.
Si ta question c'est qu'est-ce qu'une valeur propre, alors tu regardes la définition et comment on la calcule.
Si ta question c'est à quoi ca sert, alors ca sert entre autres à diagonaliser les matrices, à chercher les directions principales, où encore de l'optimisation (formes quadratiques).