Matrice stochastique, mesure invariante, mesure inversible

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joce
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Matrice stochastique, mesure invariante, mesure inversible

par joce » 21 Mar 2020, 14:59

Bonjour,

Dans un exercice on me demande d'abord de démontrer que si une mesure m est inversible pour P stochastique, alors c'est l'unique mesure invariante par P. Pas de problème pour ce point.

On me demande ensuite : peut-on trouver une matrice stochastique P pour laquelle il n'y a pas de mesure de probabilité réversible ? Là j'ai du mal.

Je me suis dit qu'on pouvait restreindre la recherche aux mesures invariantes, car si on arrive à prouver que l'unique mesure invariante d'une matrice stochastique n'était pas réversible le tour serait joué puisqu'on serait certain qu'aucune autre mesure ne serait réversible (sinon grâce au point précédent on montrerait que cette mesure réversible est également invariante, or on aura déjà traité ce cas).

Cependant si je prends une matrice 2x2, stochastique, et une mesure m invariante pour notre matrice, et que j'exprime les coefficients des uns en fonction des autres (en prenant en compte les contraintes : mesure invariante, matrice stochastique) j'arrive à la conclusion que si on prend une mesure invariante pour notre matrice alors elle est nécessairement réversible (j'ai peut-être fait des erreurs de calcul !).

L'autre possibilité serait donc que effectivement une mesure invariante pour une matrice stochastique est toujours réversible, ce que de toute façon j'arrive pas à démontrer (ou du moins le paragraphe précédent permettrait de le montrer pour des matrices 2x2, peut-être faudrait-il alors faire une récurrence sur la taille de la matrice pour le démontrer ? ; tout ça me paraît bien compliqué quand même !).

Un peu d'aide me serait bien utile en tout cas :)

Merci d'avance.



 

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