On désigne pas la mesure de Lebesgue sur et par la mesure de Lebesgue sur . est un couple aléatoire défini sur un espace probabilisé , de loi de probabilité , est l'application symétrie dans : et avec est la projection .
1. Montrer que est mesurable et que est invariante par (i.e. la mesure image de par est )
2. On suppose que est invariante par (i.e. la mesure image de par est ). Montrer que :
2.a. les marginales et ont même loi de probabilité ;
2.b. si admet une densité par rapport à , alors presque partout .
3. Soit h l'application de dans définie par : .
3.a. Montrer que est un couple aléatoire.
3.b. Soient et . Vérifier que et sont des parties boréliennes de et montrer que pour tout on a : , (1) où désigne la loi de probabilité de .
3.c. Démontrer à l'aide de (1) que :
3.c.i. si est invariante par , admet par rapport à la densité ;
3.c.ii. si admet la densité par rapport à , admet la densité par rapport à .
Passons à la partie réponse, je suis qu'au début de l'exercice mais j'essaie de comprendre chaque question :p
1. On sait que est linéaire en dimension finie, donc est continue, ce qui implique que S est mesurable.
Ensuite je voulais montrer que on a , je voulais du coup utiliser la théorème de l'unicité des mesures, mais ça me pose problème pour l'appliquer.
2.a. J'ai pas compris dans mon cours le principe des lois marginales, du coup je comprends pas comment le prouver.
2.b. Je pensais partir du fait admet une densité par rapport à donc en fait calculer