Mesure invariante

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Ncdk
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Mesure invariante

par Ncdk » 14 Mar 2016, 09:30

On désigne pas la mesure de Lebesgue sur et par la mesure de Lebesgue sur . est un couple aléatoire défini sur un espace probabilisé , de loi de probabilité , est l'application symétrie dans : et avec est la projection .

1. Montrer que est mesurable et que est invariante par (i.e. la mesure image de par est )
2. On suppose que est invariante par (i.e. la mesure image de par est ). Montrer que :

2.a. les marginales et ont même loi de probabilité ;
2.b. si admet une densité par rapport à , alors presque partout .

3. Soit h l'application de dans définie par : .

3.a. Montrer que est un couple aléatoire.
3.b. Soient et . Vérifier que et sont des parties boréliennes de et montrer que pour tout on a : , (1) désigne la loi de probabilité de .
3.c. Démontrer à l'aide de (1) que :

3.c.i. si est invariante par , admet par rapport à la densité ;
3.c.ii. si admet la densité par rapport à , admet la densité par rapport à .

Passons à la partie réponse, je suis qu'au début de l'exercice mais j'essaie de comprendre chaque question :p

1. On sait que est linéaire en dimension finie, donc est continue, ce qui implique que S est mesurable.
Ensuite je voulais montrer que on a , je voulais du coup utiliser la théorème de l'unicité des mesures, mais ça me pose problème pour l'appliquer.

2.a. J'ai pas compris dans mon cours le principe des lois marginales, du coup je comprends pas comment le prouver.

2.b. Je pensais partir du fait admet une densité par rapport à donc en fait calculer



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Re: Mesure invariante

par zygomatique » 14 Mar 2016, 17:56

salut

il me semble qu'on a tout simplement :



et 2/ (du moins a/) s'en déduit quasi automatiquement (il suffit d'écrire proprement les choses) ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE

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Re: Mesure invariante

par Ncdk » 14 Mar 2016, 19:39

Bonsoir,

Le truc qui me gêne, c'est que prend pas forcément ses valeurs dans non ? Alors que la mesure est définie sur les boréliens de , ça peut poser des problèmes non ?

Pour la 2) a) j'ai fait avec deux boréliens de et j'ai réussi à prouver, donc je suis satisfait ^^

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Re: Mesure invariante

par zygomatique » 14 Mar 2016, 19:48

ben où veux-tu que X vive si ce n'est pas précisé .... ce me semble-t-il ....
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Re: Mesure invariante

par Ncdk » 14 Mar 2016, 19:52

par exemple, c'est vrai que je me suis pas posé la question si une variable aléatoire pouvait prendre ses valeurs dans

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Re: Mesure invariante

par zygomatique » 14 Mar 2016, 19:54

ça pourrait ... mais enfin il semble raisonnable de penser ici qu'on travaille sur R ....
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Re: Mesure invariante

par Ben314 » 14 Mar 2016, 19:55

Pour la 2)a), tu peut considérer si tu veut que X prend ces valeurs n'importe où (dans C ou dans un ensemble de couleurs ou de formes, ou n'importe quoi).

Par contre, pour le 2)b), ça serait pas con de se rappeler ce qu'est la définition d'une "densité" pour voir si ça colle avec un X prenant ces valeurs dans n'importe quoi...
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Re: Mesure invariante

par zygomatique » 14 Mar 2016, 19:59

et la question 3/ lève toute ambiguïté ... ;)
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Re: Mesure invariante

par Ncdk » 14 Mar 2016, 20:01

Ben314 a écrit:Par contre, pour le 2)b), ça serait pas con de se rappeler ce qu'est la définition d'une "densité" pour voir si ça colle avec un X prenant ces valeurs dans n'importe quoi...


C'est pas ce que j'ai marqué ? C'est pas ça la définition de densité ? :)

 

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