On désigne pas
la mesure de Lebesgue sur
))
et par
la mesure de Lebesgue sur
))
.
)
est un couple aléatoire défini sur un espace probabilisé
)
, de loi de probabilité
,
est l'application symétrie dans
:
=(x_2,x_1))
et
avec
est la projection
 \to x_i)
.
1. Montrer que
est mesurable et que
est invariante par
(i.e. la mesure image de
par
est
)
2. On suppose que
est invariante par
(i.e. la mesure image de
par
est
). Montrer que :
2.a. les marginales
et
ont même loi de probabilité ;
2.b. si
admet une densité
par rapport à
, alors
presque partout
.
3. Soit h l'application de
dans
définie par :
 = (inf(x_1,x_2),sup(x_1,x_2)))
.
3.a. Montrer que
est un couple aléatoire.
3.b. Soient
 \in \mathbb{R}^2 | x_1 \leq x_2 \})
et
 \in \mathbb{R}^2 | x_1 = x_2 \})
. Vérifier que
et
sont des parties boréliennes de
et montrer que pour tout
)
on a :
 = P_X(B \cap A) + P_X(S^{-1}(B \cap A)) - P_X(B \cap D))
,
(1) où
désigne la loi de probabilité de
.
3.c. Démontrer à l'aide de
(1) que :
3.c.i. si
est invariante par
,
admet par rapport à
la densité
;
3.c.ii. si
admet la densité
par rapport à
,
admet la densité
1_A)
par rapport à
.
Passons à la partie réponse, je suis qu'au début de l'exercice mais j'essaie de comprendre chaque question :p
1. On sait que
est linéaire en dimension finie, donc
est continue, ce qui implique que S est mesurable.
Ensuite je voulais montrer que
)
on a
) = \lambda^2(B))
, je voulais du coup utiliser la théorème de l'unicité des mesures, mais ça me pose problème pour l'appliquer.
2.a. J'ai pas compris dans mon cours le principe des lois marginales, du coup je comprends pas comment le prouver.
2.b. Je pensais partir du fait
admet une densité
par rapport à
donc en fait calculer
)=\int_{\mathbb{R}^2} 1_{S^{-1}(B)} f_X d\lambda^2)
