Matrice de Projection

[Damian29]

bonjourà tous!!!
je relis mon cours sur les espaces préhilbertiens et y a qqlch que je comprends pas.
il est dit:

si i appartient à |[1,p-]|², on note Pi (x) la projection orthogonale de x sur Ei (Ei étant le sous espace propre).la matrice de pi dans la base canonique de R^n est notée Pi et Pi est une matrice symétrique.
c'est ça que je comprends pas pourquoi Pi est symétrique ? oO

[Damian29]

personne peut m'expliquer svp ..:/

[Ben314]

Salut,
Un petit rappel : Un endomorphisme f:E->E est symétrique lorsque, pour tout x,y de E, on a : = où <.|.> désigne le produit scalaire.

Ensuite, deux méthodes :
1) Tu as du voir qu'une matrice est symétrique lorsqu'elle correspond à la matrice d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormé.
Ne voit tu pas une autre base orthonormée dans laquelle la matrice de l'endomorphisme Pi est extrêmement simple ? Dans cette base, n'est il pas évident que la matrice est symétrique (donc que l'endomorphisme Pi est symétrique donc que sa matrice dans la base cannonique est symétrique)?

2) Vérifie en décomposant x et y dans Ei et son orthogonal que l'endomorphisme Pi est bien symétrique (à l'aide de la définition rappellée au début)

Tu pourrais aussi partir de la matrice "simple" de Pi dans la base adaptée et en déduire celle de Pi dans la base cannonique en n'oubliant pas que les deux bases sont orthonormées donc que la matrice de changement de base est...

P.S.1 En dimension finie, on appelle souvent un espace préhilbertien (qui d'ailleurs est forcément hilbertien) un espace... euclidien.
P.S.2 Le fait que Ei soit un sous espace propre n'a (évidement) aucune importance : toute projection orthogonale sur un s.e.v. est symétrique.

[Damian29]

non je vois pas la base simple... :s

[Damian29]

base cannonique?

[Damian29]

et puis on connait pas la dimension de Ei donc comment décomposé x et y dans un espace ôù on connait pas le cardinale de la base oO

[alavacommejetepousse]

pour préciser ce que ben t as dit et que tu n as pas vu

le recollement d une base orthonormée de Ei à une base orthonormée de l'orthogonal de Ei donne une base orthonormée de l'espace dans laquelle la matrice de pi est diagonale.