Matrice d'une projection sur une base non orthogonal

par **forhekset** » 25 Déc 2012, 06:13

Bonjour, ( et joyeux Noel au passage :we: )

Comme le titre l'indique, j'aimerai savoir comment redémontrer la formule suivante :

avec :
- P : Matrice de projection sur le sous espace vectoriel engendré par (les vecteurs colonne de )A.
-

une base ( qui peut ne pas être orthogonale ) de

-

Merci d'avance !

par **Cheche** » 25 Déc 2012, 12:17

forhekset a écrit:

Bonjour, ta formule est très bizarre car après développement de la parenthèse,
tu obtiens P = Id, non ?

Peut-être que A n'est pas forcément inversible, mais que

le soit. Possible.

par **forhekset** » 26 Déc 2012, 07:11

Oui effectivement, au temps pour moi !

Je me suis trompé dans la définition de A ...
La matrice A n'est pas carrée , donc pas de risque de la rendre inversible :lol3:
Sauf lorsque k=n, mais dans ce cas là la projection est bien l'identité.

( j'ai édité le 1er message pour rendre ma question correcte )

par **Maxmau** » 26 Déc 2012, 12:55

forhekset a écrit:Bonjour, ( et joyeux Noel au passage :we: )

Comme le titre l'indique, j'aimerai savoir comment redémontrer la formule suivante :

avec :
- P : Matrice de projection sur le sous espace vectoriel engendré par (les vecteurs colonne de )A.
- une base ( qui peut ne pas être orthogonale ) de
-

Merci d'avance !

Bonjour

L'espace est E = R^n muni du produit scalaire usuel
le sous espace F est l'ensemble des AZ où Z est une colonne quelconque
Tu peux faire une vérification:
P² = P, P coincide avec l'identité sur F et est nulle sur l'orthogonal de F

ou alors tu utilises le fait que le projeté de X sur F réalise le minimum de la distance de X à un point quelconque de F

par **forhekset** » 27 Déc 2012, 09:57

Maxmau -> Merci pour ta réponse !

En fait, je ne cherche pas a "valider" la formule ( ça j'ai pu le faire ) mais comment on la trouve...

par **Maxmau** » 27 Déc 2012, 15:42

forhekset a écrit:Maxmau -> Merci pour ta réponse !

En fait, je ne cherche pas a "valider" la formule ( ça j'ai pu le faire ) mais comment on la trouve...

utilise ma dernière remarque comme point de départ

par **Maxmau** » 27 Déc 2012, 18:09

Je détaille un peu (les notations sont les précédentes)
Soit X ds R^n .
Tu cherches Y dans F qui rend minimum || X - Y ||² (carré de la norme euclidienne usuelle)
Cela revient à chercher Z ds R^n tel que || X - AZ ||² soit minimum
( c'est classique: tu trouves Z= (A*A)^(-1)A*X, A* est la transposée de A)
Y = A(A*A)^(-1)A*X est l'élément de F qui rend minimum || X - Y ||
Y est donc le projeté de X sur F. Tu conclus.

par **Maxmau** » 27 Déc 2012, 19:48

Plus simple ( M* est la transposée de M)
Y=AZ étant le projeté orthogonal de X sur F, on écrit que X-AZ est orthogonal à AH pour tout H
D'où matriciellement: (AH)*(X-AZ)= 0 pour tout H . On a alors: A*(X-AZ)=0 et A*AZ=A*X puis comme A*A est ici inversible:
Z = (A*A)^(-1)A*X et Y = A(A*A)^(-1)A*X

par **forhekset** » 28 Déc 2012, 02:10

Merci beaucoup pour ta réponse ! J'ai bien compris.

Effectivement c'était pas si compliqué finalement mais on oublie vite quand on ne fait plus ce genre de math pendant quelques années :triste:

Matrice d'une projection sur une base non orthogonal

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