Matrice d'une projection orthogonale

[Epik34]

Bonjour.

Je souhaiterais de l'aide concernant un execice d'algèbre. Voici l'énoncé:


Soient E et F deux espaces euclidiens de dimensions respectives n et p, et f une application linéaire de E dans F.
On note A la matrice de f dans un couple donné de bases orthonormées de ces espaces.
a) On suppose que f est injective. Déterminer l'expression, dans le couple de bases considéré, de la matrice de la projection orthogonale sur f(E).
b) On suppose que f est surjective. Déterminer l'expression, dans le couple de bases considéré, de la matrice de la projection orthogonale sur le noyau de f.


Je dois avouer que de prime abord, E et F étant des espaces vectoriels sur R munis du produit scalaire, je me suis dit qu'en utilisant l'orthogonalistaion de Gram-Schmidt, je n'aurais pas trop de mal à trouver les projecteurs pour ensuite déterminer leur matrice respectives.

On peut peut-être dire que f(E) est un sous-espace de F (f injective), donc on peut construire les matrices de projection orthogonale P de F sur f(E).
Mais comment trouver une base de f(E) que l'on pourrait compléter afin de lui associer une base orthonormée {q1,...,qp} de F?
Et quand bien même, comment effectivement compléter cette base?

Autre chose encore: si on considère f(E) = Vect(a1,...,ar), on a:

P(x) = Somme(de i=1 à r) des .qi

Comment puis-je construire la matrice? Sachant que l'énoncé demande "dans le couple de bases considéré", cela implique-t-il la base orthonormée de E?

Rahhh je craque, le délais pour boucler cet exercice est très court (encore seulement deux jours) et je dois le présenter à l'oral, alors autant dire que je dois le comprendre parfaitement.
Et comme vous le voyez, c'est loin d'être gagné :triste: ...

[yos]

Soient E et F deux espaces euclidiens de dimensions respectives n et p, et f une application linéaire de E dans F.
On note A la matrice de f dans un couple donné de bases orthonormées de ces espaces.
a) On suppose que f est injective. Déterminer l'expression, dans le couple de bases considéré, de la matrice de la projection orthogonale sur f(E).

Il y a pas un problème? La projection orthogonale sur f(E) est un endomorphisme de F donc c'est relativement à la base de F que l'on doit trouver la matrice et pas relativement aux bases de E et F.

[Epik34]

Je sais c'est troublant. Le sujet que j'ai écris ici est la parfaite réplique de celui du polycope. Mais le "dans le couple de bases considé" est peut-être effectivement un abus.