Calcul Matrice Projection Orthogonale

[Fabien_42]

Bonsoir,

J'espere que vous pourrez m'aider dans mon problème. Je suis sur un exercice sur les matrices de projection: Donnez la matrice de projection orthogonale sur le plan d'equation x-2y+z-1=0. Je me demande quel est la methode pour resoudre ce type d'exercice.

Cordialement.

[Ben314]

Salut,
Il y a... des tas de méthodes... une des plus élémentaires est :

Tu évalue un vecteur normal N à ton plan (y'a pas de calcul à faire) puis, partant d'un vecteur U:(x,y,z), tu regarde quel lambda il faut prendre pour que U-lambda.N soit dans ton plan.
Une fois lambda trouvé, ben le vecteur U-lambda.N, c'est lui le projeté de U sur le plan et tu n'as qu'à regarder comment s'expriment ces coordonnées en fonction de x,y et z pour avoir ta matrice.

[Fabien_42]

Merci pour la reponse!

[Ben314]

Tient, je viens de réagir que l'énoncé contient une petite incohérence :

Le plan d'équation x-2y+z-1=0 est un plan affine et pas un plan vectoriel (à cause du '-1'). On peut bien sûr parler de projection orthogonale sur un plan affine, mais dans ce cas, évidement, la projection est une application affine et pas vectorielle, donc on n'a pas le droit de parler de la matrice associée à la projection, mais seulement de la matrice asociée à l'application linéaire associée à la projection...

ça veut dire que, si tu fait les calculs comme je te l'ai suggéré, il faut partir d'un point M:(x,y,z) et regarder à quelle condition sur lambda le point M-\lambda.N est dans le plan.
Une fois les calculs fait, tu constatera que les trois coordonnées du projeté de M ne sont pas des fonctions linéaires de x,y,z (i.e. ax+by+cz) mais des fonctions affines de x,y,z (i.e. ax+by+cz+d).

[Fabien_42]

Lambda, c'est une constante que je multiplie par mon vecteur ?

[Ben314]

Ben, au départ (i.e avant de regarder à quelle condition M-lambda.N est dans le plan), je dirait plutôt que c'est une inconnue...
Ensuite, une fois que tu a résolu l'équation, ben, c'est un réel qui dépend du point M choisi, donc je dirais pas franchement que c'est "une constante"...

[alavacommejetepousse]

Tient, je viens de réagir que l'énoncé contient une petite incohérence :

Le plan d'équation x-2y+z-1=0 est un plan affine et pas un plan vectoriel (à cause du '-1'). On peut bien sûr parler de projection orthogonale sur un plan affine, mais dans ce cas, évidement, la projection est une application affine et pas vectorielle, donc on n'a pas le droit de parler de la matrice associée à la projection, mais seulement de la matrice asociée à l'application linéaire associée à la projection...

ça veut dire que, si tu fait les calculs comme je te l'ai suggéré, il faut partir d'un point M:(x,y,z) et regarder à quelle condition sur lambda le point M-\lambda.N est dans le plan.
Une fois les calculs fait, tu constatera que les trois coordonnées du projeté de M ne sont pas des fonctions linéaires de x,y,z (i.e. ax+by+cz) mais des fonctions affines de x,y,z (i.e. ax+by+cz+d).

il me semble qu'il vaut mieux puisqu'on regarde que la partie linéaire se contenter du plan d'équation x-2y+z = 0 et de faire comme tu dis