Matrice orthogonale

[mehdi-128]

Salut,

Je me demande comment démontrer que :
Une matrice carrée est orthogonale si et seulement si vecteurs lignes sont orthogonaux deux à deux et de norme 1 ....

Merci

[NicoTial]

Pour faire ceci tu peux considérer que les matrices orthogonales représentent les isométries vectorielles. Et donc tu as :
Soit A une matrice orthogonale,
Soit Ei égale au vecteur contenant un 1 à la j-ème place et que des 0 sinon :
( | ) représente le produit scalaire :
(AEi|AEj)=(Ei|Ej)= 0 si i est différent de j, 1 sinon.

La réciproque se fait de la même manière.

[NicoTial]

J'ai traité ici le cas que les colonnes sont orthogonales deux à deux et de norme 1, mais à une transposé près c'est ce que tu demandais.

[mehdi-128]

J'ai traité ici le cas que les colonnes sont orthogonales deux à deux et de norme 1, mais à une transposé près c'est ce que tu demandais.

Oui certains cours parlent plutôt de vecteurs propres orthogonaux.

D'ailleurs quand on calcule les vecteurs propres on utilise l'orthogonalité pour aller plus vite...

[mehdi-128]

Pour faire ceci tu peux considérer que les matrices orthogonales représentent les isométries vectorielles. Et donc tu as :
Soit A une matrice orthogonale,
Soit Ei égale au vecteur contenant un 1 à la j-ème place et que des 0 sinon :
( | ) représente le produit scalaire :
(AEi|AEj)=(Ei|Ej)= 0 si i est différent de j, 1 sinon.

La réciproque se fait de la même manière.

J'ai pas compris ... AEi ne représente pas le vecteur colonne de A

Si j'appelle C1 et C2 les 2 vecteurs colonnes de A je dois montrer (C1/C2)=0

[NicoTial]

hm si... AEi représente bien la ième colonne de A....
Ei = 0
0
....
1 <-- ième place
...
0

[mehdi-128]

hm si... AEi représente bien la ième colonne de A....
Ei = 0
0
....
1 <-- ième place
...
0

Ah j'ai compris merci ! Ca montrer du coup l'orthonormalité en même temps car (Ei/Ei)=1

[NicoTial]

Exact !