Matrice nilpotente

[mehdi-128]

Bonjour ,voila l'exercice :Soit n un entier naturel non nul et A une matrice de Mn(C).Montrer que A est nilpotente si et seulement si pour tout k appartenant a [1,n] Tr(A^k)=0.
voila mon raisonnement,j'aimerai savoir s'il est correct:
A est trigonalisable dans Mn(C) donc il existe une matrice P inversible et une matrice T triangulaire supérieure telle que:A=P.T.P^(-1)
A est nilpotente si et seulement si il existe un p entier naturel tel que :A^(p)=0,or pour tout p entier naturel ,A^p=P.[T^p].P^(-1).
Donc A est nilpotente si et seulement si T est nilpotente .
Tr(A^k)=Tr(P.[T^k].P^(-1))=Tr(T^k)
Ainsi,il suffit de montrer que T est nilpotente si et seulement si Tr( T^k)=0.
Je note (l1,.........,ln) les coefficiants diagonaux de T.
1ere implication:
Supposons que T est nilpotente .Ainsi,il existe un p entier naturel tel que:T^p=0.Or,les coeff diagonaux de T^p sont:(l1^p,.......,ln^p).Ainsi,tout les li pour i compris entre [1,n] sont nuls.
Ainsi:Tr(T^k)=0 car la trace est la somme des valeurs propres.
Par contre ,je bute sur la 2eme implication......
merci .......

[fahr451]

bonjour

avec tes notations

les li sont les valeurs propres
on montre qu elles sont nulles
par l'absurde :

on les renomme (quitte à permuter les colonnes)pour que
les n1 premières soient égales à L1 non nulle
n2 suivantes .....................à L2 ........
nr .....................................à Lr

les dernières nulles

on a r>=1et n1,...,nr entiers non nuls

on écrit trT^k = 0 pour k = 1,...,r

et on obtient un Van der monde d'inconnues n1,...,nr ...

[Blueberry]

Bonjour,

en fait une matrice triangulaire est nilpotente si et seulement si ses éléments diagonaux sont tous nuls.

Par l'absurde: tu supposes T non nilpotente alors un des coefficients de la diagnonale est non nul.

on aurait pour tout entier p :



sans que les soient tous nuls.

A mon avis on doit pouvoir démontrer que c'est impossible.

[mehdi-128]

Ah ok merci.....