Matrice nilpotente

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un petit exercice sur les matrice nilpotente, mais je vous cache pas que je bloque. Du coup j'aurai bien besoin d'un petit coup de main svp.

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je dois montrer que pour toute nilpotente il existe telle que :

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J'ai essayé sur quelques exemples :

pour on peut prendre

pour on peut prendre

pour on peut prendre

Du coup je me suis dit que pour N nilpotente quelconque, pourrait probablement convenir.

Le problème c'est que je me suis lancé dans le calcul de B² qui était devenu assez compliqué, et je n'ai pas abouti.

Donc je pense qu'il y a sûrement une autre voie, mais je n'arrive pas à la trouver


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[mathelot]

je reprend ton idée

moralement, on doit avoir



les nilpotents sont des sortes d'infiniment petits (?!)
:id:

on développe



le DSE(0) de racine de 1+x donne une somme finie si x est un nilpotent.


résultat des courses, on a un prétendant pour B.
Il ne reste plus qu'à l'élever au carré. :mur:

remarque: si N est nilpotent, tous les DSE(0) donnent des sommes finies:
Ln(1+N),exp(N),sin(N),tan(N),Arctan(N) , etc...

[CompuTux]

Bonjour,

Je suis nouveau sur le forum et je me présenterai après avoir rapidement répondu à cette question.

Il est clair que le prétendant pour B est la somme que vous avez donnée.

Le problème arrive quand il s'agit de l'élever au carré et je propose une approche par récurrence :

Soit p l'indice de nilpotence de la matrice N.

Pour p=2, il vient que et il existe donc telle que .

On fait alors l'hypothèse que pour , il existe telle que .

On calcule ensuite

Je sais pas si cela vous aide.

[Ben314]

Salut,
En fait, on n'a pas vraiment besoin de calculer explicitement ce que donne le carré du D.L. de , il suffit de voir que, si alors où est un polynôme (vu que c'est la différence entre deux polynômes) et donc où est un polynôme.

Il suffit alors d'appliquer l'égalité polynomiale à la matrice nilpotente pour avoir le résultat.

[jonses]

Merci pour vos réponses !

Sinon, bien vu le coup des polynômes Ben ! Vu comme ça, ça évite des calculs fastidieux

[CompuTux]

Bon, mon approche par récurrence ne mène à rien...

Merci Ben314 pour ce résultat. J'ai personnellement encore du mal à appliquer des résultats d'analyse en algèbre.