Matrice nilpotente

[eratos]

Salut les gaillards :lol3:

Je bloque sur un petit exo. On a une matrice carré nilpotente N à coeff dans un anneau. On veut savoir pourquoi I-N est inversible et pourquoi son inverse est inv(I-n)= I+N+N²+....

Le deuxième pourquoi est claire et on pourrait s'arrêter là (vu qu'on a explicité l'inverse de I-N, elle existe :id: )
Le premier pourquoi me semble pas super compliqué mais il me faut un indice. il y a eu l'idée du determinant (si la matrice n'était pas inversible, son determinant vaudrait 0 tout ça) à creuser, et là je pense au binome de Newton ((I-N) à une puissance quelconque) mais ça va vite être gonflant et ça semble amener nulle part.

[jlb]

Salut.
Sur C, tu trigonalises N, il existe une base dans laquelle la matrice de N est triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonale. Et dans cette base tu regardes ce que vaut I-N.
Mais bon, cela ne résout pas ton problème ( dans un anneau...).

[Maxmau]

Salut les gaillards :lol3:

Je bloque sur un petit exo. On a une matrice carré nilpotente N à coeff dans un anneau. On veut savoir pourquoi I-N est inversible et pourquoi son inverse est inv(I-n)= I+N+N²+....

Le deuxième pourquoi est claire et on pourrait s'arrêter là (vu qu'on a explicité l'inverse de I-N, elle existe :id: )
Le premier pourquoi me semble pas super compliqué mais il me faut un indice. il y a eu l'idée du determinant (si la matrice n'était pas inversible, son determinant vaudrait 0 tout ça) à creuser, et là je pense au binome de Newton ((I-N) à une puissance quelconque) mais ça va vite être gonflant et ça semble amener nulle part.

Bj
Tu as la solution
(I - N)(I + N + N² +.......) = ??
remarque que la deuxième parenthèse est une somme finie.

[adrien69]

Salut, pour la première, c'est simple. La matrice identité n'est semblable qu'à la matrice identité. Et N est semblable à une triangulaire supérieure stricte. Donc I-N est semblable à une triangulaire avec uniquement des 1 sur la diagonale.
Pour la seconde, tu as prouvé que la série convergeait ?

[Ben314]

ATTENTION :

... à coeff dans un anneau....
...si la matrice n'était pas inversible, son determinant vaudrait 0...

Ça c'est faux : une matrice à coeff. dans un anneau est inversible ssi son déterminant est un inversible de l'anneau (et, uniquement dans le cas d'un corps, cela équivaut au fait qu'il soit non nul)

[eratos]

Pour la convergence de la série c'est ok (puisque c'est une somme finie de termes avec la nilpotence, les termes sont tous nuls à partir d' un certain entier).

Ben: oui j'ai réfléchi après coup, parce que souvent on se place dans un kev avec k=r ou c qui sont des corps (qui n'admettent qu'un élt non inversible, 0 donc).

Adrien: une matrice (A) semblable à une triang sup (T), c'est une matrice qui se représente triangulaire dans une certaine base ie qu'il existe P inversible tq A=PTP-1. c'est la que mes lacunes reviennent, j'ai du mal avec les changements de bases. :mur:

[eratos]

j'ai constaté que si on prend une matrice triangulaire sup strictement et qu'on la multiplie par elle même, on a une "diagonale" de plus de zéro. En réitérant, on arrive jusqu'à une matrice de zéro sauf sur la première ligne dernière colonne. En la remultipliant on obtient la matrice nulle.

Ce que je suis en train de dire, c'est qu'une matrice triangulaire sup est nilpotente, donc est "semblable" à une matrice nilpotente (N=INI-1), mais est-ce correct et le cas échéant comment formaliser tout ça?

En admettant ça pour l'instant, det(I-N)=det(I-T) =1 (N=PTP-1 ,N nilpotente, P inversible, T triangulaire stricte sup)
1 étant inversible, il en va de même de I-N. (faut que je revois pourquoi, il y a un truc d'isomorphisme d'anneau là dedans)

Pour la deuxième assertion: si l'indice de nilpotence est p, comme 0 est absorbant pour *
N^n =0 dès que n>p, la somme est finie etc.

[adrien69]

j'ai constaté que si on prend une matrice triangulaire sup strictement et qu'on la multiplie par elle même, on a une "diagonale" de plus de zéro. En réitérant, on arrive jusqu'à une matrice de zéro sauf sur la première ligne dernière colonne. En la remultipliant on obtient la matrice nulle.

Ce que je suis en train de dire, c'est qu'une matrice triangulaire sup est nilpotente, donc est "semblable" à une matrice nilpotente (N=INI-1), mais est-ce correct et le cas échéant comment formaliser tout ça?

En admettant ça pour l'instant, det(I-N)=det(I-T) =1 (N=PTP-1 ,N nilpotente, P inversible, T triangulaire stricte sup)
1 étant inversible, il en va de même de I-N. (faut que je revois pourquoi, il y a un truc d'isomorphisme d'anneau là dedans)

Pour la deuxième assertion: si l'indice de nilpotence est p, comme 0 est absorbant pour *
N^n =0 dès que n>p, la somme est finie etc.

C'est pas exactement ce que j'ai dit ? ^^

[wserdx]

Oui, au petit détail près que c'est vrai dans un corps (décomposition de jordan). Dans un anneau, je me limiterais peut-être aux matrices triangulaires strictes. (Faudrait voir quels sont les résultats qui tiennent encore pour les anneaux...)

[adrien69]

Ah on travaille dans un anneau ? J'avais pas vu.
Faudrait que je relise la preuve de Jordan via les modules pour voir si ca s'adapte, je ne me souviens plus...