Matrice diagonale

par **zork** » 11 Fév 2012, 19:15

bonjour,

soit A une matrice nxn symétrique et inversible. On suppose qu'il existe une unique décomposition LU tel que A=LU avec L triangulaire inf à diagonale unité et U triangulaire sup

comment montrer qu'il existe D tel que A=

j'ai remarqué que U et L sont inversibles mais après?

merci

par **raito123** » 11 Fév 2012, 19:44

Bonsoir,

Tu peux toujours noter D la matrice tq

par **raito123** » 11 Fév 2012, 19:57

Et puis si tu veux une matrice D diagonale tu peux toujours utiliser le théorème spectral vu que A est symétrique

par **zork** » 11 Fév 2012, 20:18

raito123 a écrit:
Tu peux toujours noter D la matrice tq

pourquoi on a toujours cela?

par **raito123** » 11 Fév 2012, 20:59

hein .. Si tu poses D comme j'ai écrit alors en calculant LD'L tu trouvera A... mais attention D n'est pas diagonale enfin il faut le démontrer et pour cela tu passes par le théorème spectral puis tu décomposes A en produit de deux matrices triangulaires comme l'exercice le suppose et pour conclure tu utilises l'unicité de la décomposition ...

U et L sont inversibles, en effet au fur et à mesure que tu avances dans le raisonnement tu vas constater qu'ils sont en fait des matrices de passages et c'est ce constat qui permet de conclure quant à l'unicité de la décomposition

par **zork** » 11 Fév 2012, 22:04

le problème c'est que je n'ai pas vu le th spectral :hum:

par **raito123** » 11 Fév 2012, 22:11

Une matrice symétrique est orthogonalement diagonalisable ... ça ne te dit rien ?

par **raito123** » 11 Fév 2012, 22:15

Au fait est-ce que tu dois démontrer que D est diagonal ?

par **zork** » 11 Fév 2012, 22:15

non, je n'ai pas encore vu ca

par **raito123** » 11 Fév 2012, 22:16

En fait est-ce que tu dois démontrer que D est diagonal ?

par **zork** » 11 Fév 2012, 22:21

je dois montrer qu'il existe une matrice D diagonale tel que

par **Maxmau** » 12 Fév 2012, 17:30

zork a écrit:bonjour,

soit A une matrice nxn symétrique et inversible. On suppose qu'il existe une unique décomposition LU tel que A=LU avec L triangulaire inf à diagonale unité et U triangulaire sup

comment montrer qu'il existe D tel que A=
j'ai remarqué que U et L sont inversibles mais après?

merci

Bj
je note A' la transposée de A
A = LU . A = A' = U'L'
il existe D diagonale tq U'D^(-1) triangulaire inférieure à diagonale unité
A = LU = [U'D^(-1)].[DL']
Par unicité: L =U'D^(-1) et U = DL'
donc: A = LDL'

Matrice diagonale

matrice diagonale

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