Matrice SDP et diagonale dominante

[funkyelephant]

Bonjour, ma question sera toute simple. J'ai fait plein de recherches et impossible de trouver une réponse claire.

Est-ce toute matrice A de Mn(R), symétrique et à diagonale strictement dominante ( )

est définie positive ?

Merci d'avance!

[Ben314]

Euhhhh,
Vu ta définition, il me semble bien que toute matrice diagonale inversible est "à diagonale strictement dominante" sauf que, pour que la forme bilinéaire associée soit définie positive, ben y faudrait, en plus d'être non nuls, que les termes de la diagonale soient positifs...
Par exemple, -Id, c'est pas trop défini positif (mais vraiment pas trop... :dodo:)

Aprés, si tu enlève la valeur absolue sur le dans ta définition, ça risque d'être plus intéressant...

[funkyelephant]

Il s'avère que tous les coefficients de ma matrice sont positifs. Pourquoi faudrait-il avoir des coefficients positifs sur la diagonale pour avoir le caractère SDP?

Mon problème de départ est de montrer que la matrice carrée de taille n, A, est SDP. Donnée par la relation :



En faisant on trouve que les coefficients diagonaux valent et les autres valent

Je pensais utiliser la diagonale dominante mais je ne sais pas s'il y a équivalence. Peut-être qu'il y a une solution plus élégante? me paraît juste irréalisable.

[Ben314]

Il s'avère que tous les coefficients de ma matrice sont positifs. Pourquoi faudrait-il avoir des coefficients positifs sur la diagonale pour avoir le caractère SDP?

Pour une raison on ne peut plus simple : si est une application bilinéaire symétrique est définie positive...

Je pensais utiliser la diagonale dominante mais je ne sais pas s'il y a équivalence.

Équivalence entre quoi et quoi ?

Après, ta matrice est assez clairement à diagonale dominante avec des termes diagonaux >0 et il est trés façile d'en déduire que ces valeurs propres (qu'on sait être réelles) sont >0 ce qui permet de conclure.