Commutant et matrice diagonale

[Percolaptor]

Bonsoir

Soit X un espace vectoriel de dimension finie et (x1,...,xn) une base de X
Soit A un endomorphisme de X représenté dans la base (x1,...,xn) par une matrice diagonale de coeff diagonaux a1,...,an deux à deux distincts.
Montrer que tout endomorphisme B de X, commutant à A, est aussi représenté par une matrice diagonale

Comme AoB=BoA, les sous espaces propres de A sont stables par B i.e €Ker(A-.id) pour tout i et valeur propre de A
et l'idée serait que ca soit égale à Vect(xi), comme ca, B est une matrice diagonale mais je ne comprends pas pourquoi Ker(A-.id)=Vect(xi) ?

[Joker62]

Haileau ;)

Comme (x1,...,xn) est une base diagonalisante pour A
on a que les éléments Lambda_i de la diagonale sont des valeurs propres qui et les x_i sont les vecteurs propres associés.

Les Lambda_i étant deux à deux distincts, les valeurs propres sont au nombre de 'n' est les sous-espaces propres sont alors des droites engendrés par les x_i.

[Percolaptor]

Salut,
tu veux dire qu'on a Ker(A-.id)=Vect(xi) ssi A est une matrice diagonale? Car ça me rappelle lorsqu'on diagonalise une matrice, on a cet égalité

[Joker62]

Bé de toute manière les valeurs propres ne dépendent pas des bases.
Donc comme on a A.xi = a_i . x_i ça veut bien dire que a_i sont les valeurs propres de A et les x_i les vecteurs propres associés. Comme on en a n différentes, les sous espaces propres sont forcément de dimension 1 et ne peuvent être qu'engendré par les x_i.