Matrice définie positive et déterminant

[folomix]

Bonjour tout le monde

Dans un exercice, on définie une matrice A orthogonale symétrique, telle que det(A) = -1.
On me demande si A est définie positive (déf >0)
Apparement il y a une règle qui dit que si A déf >0, alors det(A)>0
Donc par contraposée, on aurait A n'est pas déf >0.
Mais je ne comprends pas d'où vient cette règle liant le déterminant au fait qu'elle soit déf >0 ou pas. Pourriez vous me l'expliquez s'il vous plait?

Merci d'avance
Folomix

[Mohamed]

le déterminant c'est le produit des valeurs propres qui sont >0 pour une matrice symétrique réelle...

[folomix]

Moi je suis d'accord avec det(A)= produit des valeurs propres (avec leurs multiplicitées)
Mais c'est pas que les vp >0, si?

[Mohamed]

salutn je rectifie ma bétise, les vps sont >0 pr une matrice symétrique réelle déf pos

[MacManus]

Salut

Une matrice symétrique A dont les éléments sont des nombres réels, est définie positive si pour tout vecteur colonne non nul on a . (où est le vecteur ligne de )

[folomix]

Oui ça c'est ma définition de matrice définie positive.
J'ai aussi ces deux propositions:
1) Une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice A symétrique soit définie positive est que toutes ses v.p. soient strictement >0.
Il y a une démonstration que je ne comprends pas.
Donc ici, est-ce qu'on a : v.p de A >0 => det(A)>0 ??

2) Une matrice symétrique définie positive est inversible
Ca ça nous dit que det(A) est non nul, rien de plus sur son signe, si?

[Taupin sur Lyon]

Une matrice symétrique réelle est diagonalisable par théorème !
Et si de + elle est définie positive, alors toutes ses VP sont strictement positives!
Donc il existe D et P telles que A=PDP^-1
D étant diagonale avec les VP strictement positives sur sa diag... donc t'en déduis que det(A)=det(D)>0
Voila !

[folomix]

J'y avais pensé, mais je m'étais embrouillé au moment de dire det(A)=det(D)
Merci beaucoup!!