Matrice A dans M(C), nilpotente si et ssi tr(A²)=0

[chelsea-asm]

Bonjour,

Je travaille sur une matrice A de . On ne nous donne pas plus d'indication.

J'ai donc déterminé A =
a , b
c , d

(si quelqu'un avait une formule juste pour écrire les matrices en TEX, celle proposée sur le forum ne fonctionne pas... ça met des m ou des p au milieu avec des ; ) Bref ! :

Ensuite, j'ai déterminé deux scalaires et tels que .

et

La question que je ne comprends pas est :
Montrer que A est nilpotente si et seulement si

J'ai d'abord essayé de montrer que si alors la matrice est nilpotente.
Je sais donc que




Après j'ai calculé mais elle n'est pas nulle. Comment montrer donc à partir de ça qu'il existe tel que ?

De même pour le deuxième sens, en disant qu'il existe tel que comment montrer que ?

Merci pour votre aide je bloque vraiment là...

Cordialement,

[lionel52]

A² = tr(A)A + b.I2 = b.I2
Comme tr(A²) = 0, on a b = 0 d'où A² = 0 :)


Reciproquement si A est nilpotente alors A n'admet que comme valeur propre 0.
Et tr(A^k) = somme(valeurs propres^k) =0

[chelsea-asm]

Merci lionel52

Mais quand tu dis b=0, tu parles de \beta = bc-ad = 0 non ?

Je comprends tout à fait ta première ligne :



A laquelle je n'avais pas pensé ^^

Mais si pourquoi ?



,
,

PS : parce que

mais en regardant le schéma de ça semble bizarre ^^

[chelsea-asm]

Désolé je m'embrouille avec les réponses,

En fait ce que je ne comprends pas c'est pourquoi si

c'est à dire

Alors ?

[lionel52]

Ben si Tr(A) = 0 alors A² = beta.I2

Mais en passant à la trace cette égalité ça fait Tr(A²)= 0 = beta.tr(I2) donc on a beta = 0 et A² = 0.I2 = 0 :)

[chelsea-asm]

Ah mais bien sûr :marteau: ! Je te remercie.

Pour la réciproque, si A est nilpotente elle n'admet comme valeur propre que 0. Ok.

Mais pourquoi cela implique très exactement tr(A^2) = tr(A) = 0. Doit-on partir du fait qu'elle est nilpotente d'ordre 2 ?