Mathématiques financières

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mimos
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mathématiques financières

par mimos » 22 Avr 2007, 16:40

exo1:
Le lancement de l' achat d'un véhicule d'un montant de KO=15 000 € est assuré par un crédit à 48 mois avec un taux mensuel de 0.25 %. Un remboursement est effectué par mensualités constantes m payables à terme échu.
a)calculer m
b) sachant que la première mensualité est versée à la fin de chaque mois et la première fois à fin juillet 2005, calculer le montant des intérêts versés en 2005, 2006, 2007,2008 et 2009.
On souhaite réduire les 12 premières mensualités à un montant de 150 €.
c)le capital prêté restant fixé à K0, calculer le montant m1 des 36 dernières mensualités
d)les 36 dernières mensualités restant fixé à m , la réduction des 12 premières mensualités peut être composée par :
i) un versement effectué à la mise en place du crédit; calculer VO.
ii) un versement V48 effectué avec la dernière mensualité; caculer V48
e) établir les relations qui existent entre m, m1, 150€, VO et V48.
On propose un crédit à 48 mois portant sur 15 000€ remboursable dans les conditions suivantes:
f)un paiement immédiat de 2150€
g) 12 mensualités 150€
h) puis 36 mensualités de 300€
i) un versement de 1200€ avec la 48 ème mensualité
j) comment se compare ce crédit avec l' opération précédente? Pourquoi?


exo2:

On considère l' émission obligataire suivante:
- coupon = 3.5 %, payable le 14 septembre de chaque année
- prix du remboursement = 100 %
- loi d' amortissement : in fine à la 15 ème année le 15 septembre 2020
- date d' émission et de réglement : le 14 septembre 2005

a) calculer le prix d' emission pour obtenir un taux actuariel de x1=3.55%
b) toutes choses égales d' ailleurs , de combien de jour faut-il décaler le versement du prix d' émission pour obtenirle mê^me taux actuariel avec un prix d' émission fixé à 100 %?
c) calculer la sensibilité de l' obligation . en déduire la duration.
d) on suppose , 5 ans plus tard , que le taux à 10 ans s ' établit à 5 %
- calculer le prix de l' obligation (juste après le paiement du coupon)
- calculer le taux de rendement obtenu par le souscripteur d' origine qui vend l' obligation sur la base de ce cours
- quel devrait ê^tre le taux du 10 ans sur le marché pour obtenir un taux de rendement de 3 %, 5 %?

e) on souhaite introduire une clause de remboursement anticipé au gré du porteur à la 10 ème échéance
- calculer la pénalité P, réduction du prix de remboursement , à appliquer à l' échéance pour que le taux de privation du porteur soit égal à 4 %
- calculer le taux de rendement obtenu par le souscripteur d' origine qui exerce la clause de remboursement anticipé
- à la date du remboursement anticipé le porteur peut sosuscrire à un obligation d' une durée de 5 ans in fine émise à 97.77 % avec un coupon de 6 % et remboursable à 100 %
1) calculer le taux actuariel x2 de cette obligation
2) établir le diagramme des flux obtenu par un porteur d' origine qui exerce la clause de remboursement anticipé et qui souscrit à cette obligation
3) écrire l' équation permettant de calculer le taux actuariel x3 correspondant
4) comment se comparent les taux actuariels x1, x2 et x3.



SAGE63
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par SAGE63 » 25 Sep 2015, 19:32

[quote="mimos"]exo1:
Le lancement de l' achat d'un véhicule d'un montant de KO=15 000 € est assuré par un crédit à 48 mois avec un taux mensuel de 0.25 %. Un remboursement est effectué par mensualités constantes m payables à terme échu.
a)calculer m
b) sachant que la première mensualité est versée à la fin de chaque mois et la première fois à fin juillet 2005, calculer le montant des intérêts versés en 2005, 2006, 2007,2008 et 2009.
On souhaite réduire les 12 premières mensualités à un montant de 150 €.
c)le capital prêté restant fixé à K0, calculer le montant m1 des 36 dernières mensualités
d)les 36 dernières mensualités restant fixé à m , la réduction des 12 premières mensualités peut être composée par :
i) un versement effectué à la mise en place du crédit; calculer VO.
ii) un versement V48 effectué avec la dernière mensualité; caculer V48
e) établir les relations qui existent entre m, m1, 150€, VO et V48.
On propose un crédit à 48 mois portant sur 15 000€ remboursable dans les conditions suivantes:
f)un paiement immédiat de 2150€
g) 12 mensualités 150€
h) puis 36 mensualités de 300€
i) un versement de 1200€ avec la 48 ème mensualité
j) comment se compare ce crédit avec l' opération précédente? Pourquoi?

Bonjour


EXERCICE 1

QUESTION a)

I) ANALYSE DU PROBLEME

On est en présence d'un capital de départ d'un montant de 15 000,00 euros remboursable en 48 mensualités constantes
au taux période de 0,25 % par mois.

II) UNE PROPOSITION DE SOLUTION

Il faut résoudre ce problème de mathématiques financières en appliquant la méthode des INTERETS COMPOSES.
Il s'agit d'un emprunt remboursable par mensualités constantes de fin de période.


Le montant de chaque mensualité constante "a" nous est donné par la formule suivante :

a = Vo * i / { 1 - [ (1+i););)] }

Nous avons les renseignement suivants :

Montant versement périodique : a = à calculer
Taux intérêt de la période : i = 0,00250000 pour 1 soit 0,25000000 % par mois
Nombre de périodes : n = 48 mensualités
Valeur actuelle : Vo 15 000,00

On a :
i est égal à 0,002500000
(1 + i ) est égal à 1,002500000
(1 + i ););) est égal à 0,887053263

Le montant du versement périodique est donné par la formule

a = Vo * i / { 1 - [ (1+i););)] }
a = 15 000,000 * 0,002500000 / (1 - 0,887053263 )
a = 15 000,000 * 0,002500000 / 0,112946737
a = 37,500 / 0,112946737
a = 332,01490

Le montant chaque mensualité est de 332,01490 arrondi à 332,01 euros.

FIN DE LA QUESTION a)

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 26 Sep 2015, 12:06

EXERCICE 1 (suite)

QUESTION b

I) ANALYSE DU PROBLEME

On est en présence d'un capital de départ d'un montant de 15 000,00 euros remboursable en 48 mensualités constantes
au taux période de 0,25 % par mois.
Le montant chaque mensualité est de 332,01490 euros.
La première mensualité est payée fin juillet 2005.
Déterminer le montant des intérêts annuels payés au titre de 2005, 2006, 2007, 2008 et 2009.

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION

A) PREMIERE PROPOSITION


Il suffit de confectionner…..le tableau d'emprunt …..

Période *** Capital départ *** Remboursement *** Intérêts mois *** Amortissement *** Capital dû *** Cumul Intérêts
31/07/2005 *** 15 000,00000 *** 332,01490 *** 37,50000 *** 294,51490 *** 14 705,48510 *** 37,50000
31/08/2005 *** 14 705,48510 *** 332,01490 *** 36,76371 *** 295,25119 *** 14 410,23390 *** 74,26371
30/09/2005 *** 14 410,23390 *** 332,01490 *** 36,02558 *** 295,98932 *** 14 114,24458 *** 110,28930
31/10/2005 *** 14 114,24458 *** 332,01490 *** 35,28561 *** 296,72929 *** 13 817,51529 *** 145,57491
30/11/2005 *** 13 817,51529 *** 332,01490 *** 34,54379 *** 297,47112 *** 13 520,04417 *** 180,11870
31/12/2005 *** 13 520,04417 *** 332,01490 *** 33,80011 *** 298,21479 *** 13 221,82938 *** 213,91881
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2005 *** ************** *** 1 992,08943 *** 213,91881 *** 1 778,17062 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2006 *** 13 221,82938 *** 332,01490 *** 33,05457 *** 298,96033 *** 12 922,86905 *** 246,97338
28/02/2006 *** 12 922,86905 *** 332,01490 *** 32,30717 *** 299,70773 *** 12 623,16131 *** 279,28055
31/03/2006 *** 12 623,16131 *** 332,01490 *** 31,55790 *** 300,45700 *** 12 322,70431 *** 310,83846
30/04/2006 *** 12 322,70431 *** 332,01490 *** 30,80676 *** 301,20814 *** 12 021,49617 *** 341,64522
31/05/2006 *** 12 021,49617 *** 332,01490 *** 30,05374 *** 301,96116 *** 11 719,53500 *** 371,69896
30/06/2006 *** 11 719,53500 *** 332,01490 *** 29,29884 *** 302,71607 *** 11 416,81894 *** 400,99780
31/07/2006 *** 11 416,81894 *** 332,01490 *** 28,54205 *** 303,47286 *** 11 113,34608 *** 429,53984
31/08/2006 *** 11 113,34608 *** 332,01490 *** 27,78337 *** 304,23154 *** 10 809,11454 *** 457,32321
30/09/2006 *** 10 809,11454 *** 332,01490 *** 27,02279 *** 304,99212 *** 10 504,12242 *** 484,34599
31/10/2006 *** 10 504,12242 *** 332,01490 *** 26,26031 *** 305,75460 *** 10 198,36782 *** 510,60630
30/11/2006 *** 10 198,36782 *** 332,01490 *** 25,49592 *** 306,51899 *** 9 891,84884 *** 536,10222
31/12/2006 *** 9 891,84884 *** 332,01490 *** 24,72962 *** 307,28528 *** 9 584,56356 *** 560,83184
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2006 *** ************** *** 3 984,17886 *** 346,91303 *** 3 637,26582 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2007 *** 9 584,56356 *** 332,01490 *** 23,96141 *** 308,05350 *** 9 276,51006 *** 584,79325
28/02/2007 *** 9 276,51006 *** 332,01490 *** 23,19128 *** 308,82363 *** 8 967,68643 *** 607,98453
31/03/2007 *** 8 967,68643 *** 332,01490 *** 22,41922 *** 309,59569 *** 8 658,09074 *** 630,40374
30/04/2007 *** 8 658,09074 *** 332,01490 *** 21,64523 *** 310,36968 *** 8 347,72106 *** 652,04897
31/05/2007 *** 8 347,72106 *** 332,01490 *** 20,86930 *** 311,14560 *** 8 036,57546 *** 672,91827
30/06/2007 *** 8 036,57546 *** 332,01490 *** 20,09144 *** 311,92347 *** 7 724,65199 *** 693,00971
31/07/2007 *** 7 724,65199 *** 332,01490 *** 19,31163 *** 312,70327 *** 7 411,94872 *** 712,32134
31/08/2007 *** 7 411,94872 *** 332,01490 *** 18,52987 *** 313,48503 *** 7 098,46369 *** 730,85121
30/09/2007 *** 7 098,46369 *** 332,01490 *** 17,74616 *** 314,26875 *** 6 784,19494 *** 748,59737
31/10/2007 *** 6 784,19494 *** 332,01490 *** 16,96049 *** 315,05442 *** 6 469,14052 *** 765,55786
30/11/2007 *** 6 469,14052 *** 332,01490 *** 16,17285 *** 315,84205 *** 6 153,29847 *** 781,73071
31/12/2007 *** 6 153,29847 *** 332,01490 *** 15,38325 *** 316,63166 *** 5 836,66681 *** 797,11396
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2007 *** ************** *** 3 984,17886 *** 236,28211 *** 3 747,89674 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2008 *** 5 836,66681 *** 332,01490 *** 14,59167 *** 317,42324 *** 5 519,24357 *** 811,70562
29/02/2008 *** 5 519,24357 *** 332,01490 *** 13,79811 *** 318,21680 *** 5 201,02678 *** 825,50373
31/03/2008 *** 5 201,02678 *** 332,01490 *** 13,00257 *** 319,01234 *** 4 882,01444 *** 838,50630
30/04/2008 *** 4 882,01444 *** 332,01490 *** 12,20504 *** 319,80987 *** 4 562,20457 *** 850,71134
31/05/2008 *** 4 562,20457 *** 332,01490 *** 11,40551 *** 320,60939 *** 4 241,59518 *** 862,11685
30/06/2008 *** 4 241,59518 *** 332,01490 *** 10,60399 *** 321,41092 *** 3 920,18426 *** 872,72083
31/07/2008 *** 3 920,18426 *** 332,01490 *** 9,80046 *** 322,21444 *** 3 597,96982 *** 882,52130
31/08/2008 *** 3 597,96982 *** 332,01490 *** 8,99492 *** 323,01998 *** 3 274,94984 *** 891,51622
30/09/2008 *** 3 274,94984 *** 332,01490 *** 8,18737 *** 323,82753 *** 2 951,12231 *** 899,70359
31/10/2008 *** 2 951,12231 *** 332,01490 *** 7,37781 *** 324,63710 *** 2 626,48521 *** 907,08140
30/11/2008 *** 2 626,48521 *** 332,01490 *** 6,56621 *** 325,44869 *** 2 301,03651 *** 913,64761
31/12/2008 *** 2 301,03651 *** 332,01490 *** 5,75259 *** 326,26231 *** 1 974,77420 *** 919,40020
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2008 *** ************** *** 3 984,17886 *** 122,28625 *** 3 861,89261 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2009 *** 1 974,77420 *** 332,01490 *** 4,93694 *** 327,07797 *** 1 647,69623 *** 924,33714
28/02/2009 *** 1 647,69623 *** 332,01490 *** 4,11924 *** 327,89566 *** 1 319,80057 *** 928,45638
31/03/2009 *** 1 319,80057 *** 332,01490 *** 3,29950 *** 328,71540 *** 991,08516 *** 931,75588
30/04/2009 *** 991,08516 *** 332,01490 *** 2,47771 *** 329,53719 *** 661,54797 *** 934,23360
31/05/2009 *** 661,54797 *** 332,01490 *** 1,65387 *** 330,36103 *** 331,18694 *** 935,88746
30/06/2009 *** 331,18694 *** 332,01490 *** 0,82797 *** 331,18694 *** -0,00000 *** 936,71543
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2009 *** ************** *** 1 992,08943 *** 17,31523 *** 1 974,77420 *** ***
*** *** *** *** *** ***
TOTAL GENERAL*********** *** ************** *** 15 936,71543 *** 936,71543 *** 15 000,00000 *** ***

CONTRÔLE du TABLEAU d'EMPRUNT

a) le capital à rembourser est de 15 000,00000

b) les 48 mensualités de 332,01490 chacune donnent bien un total de 15 936,71543 euros

c) le montant des intérêts est égal à 15 936,71543 -15 000,00000 = 936,71543 euros

Année 2005 : 213,91881
Année 2006 : 346,91303
Année 2007 : 236,28211
Année 2008 : 122,28625
Année 2009 : 17,31523
TOTAL 936,71543

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 26 Sep 2015, 18:26

EXERCICE 1 (suite)

QUESTION b (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

B) SECONDE PROPOSITION

Pour calculer le montant des intérêts annuels on procédera de la façon suivante.

a) Calculer le montant des mensualités payées au cours de l'année

b) Déterminer le montant de l'amortissement remboursé au cours de la même année
en faisant la différence entre

b1*) d'une part le capital restant dû à la fin de l'année
b2*) et d'autre part le capital emprunté
b3*) la différence entre b1 et b2 nous donne le capital remboursé au cours de l'année

c) et par différence entre le point a) et le point b3*) ci-dessus on aura le montant des intérêts pour la dite année.


1) MONTANT DES INTERETS PAYES AU COURS DE L'ANNEE 2005

a) Calculer le montant des mensualités payé au cours de l'année 2 005

Il y a eu 6 mensualités de 332,01490 chacune soit un total de 1 992,08943 euros.

b) Déterminer le montant de l'amortissement remboursé au cours de la même année 2 005
en faisant la différence entre

b1*) d'une part le capital restant dû à la fin de l'année 2 005

Il suffit de calculer le capital restant dû des 42 mensualités restant à rembourser qui nous est
donné par la formule suivante :



M = V(o) * [ (1+i) ;) -( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]

avec :
V(0) = 15 000,00
i = 0,0025 % pour 1
n = 48 mois durée totale de l'emprunt
h = 6 mois remboursés
(1+i) = 1,0025
(1+i) ;) = 1,127328021
(1+i) ;) = 1,015094063

On a :

M = V(o) * [ (1+i) ;) - ( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]
M = 15 000,000 * ( 1,127328021 -1,015094063 ) / ( 1,127328021 -1 )
M = 15 000,000 * 0,112233958 / 0,127328021
M = 1 683,51 / 0,127328021
M = 13 221,82938

Le capital restant à rembourser est de 13 221,82938 euros au 31 décembre 2 005
A titre de contrôle, le tableau d'emprunt nous donne un capital à rembourser de 13 221,82938 euros.

b2*) et d'autre part le capital restant à remboursé au 1er juillet 2 005 était de 15 000,00 euros

b3*) le capital remboursé au cours de l'année 2 005 est de
15 000,00000 -13 221,82938 = 1 778,17062 euros

c) et par différence entre total des mensualités soit 1 992,08943
et le capital remboursé au cours de l'année soit 1 778,17062
on obtient le montant des intérêts remboursés en 2 005 soit 213,91881
montant qui est égal à celui trouvé dans le tableau d'emprunt, à savoir : 213,91881

A SUIVRE

SAGE63
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par SAGE63 » 27 Sep 2015, 10:17

EXERCICE 1 (suite)

QUESTION b (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

B) SECONDE PROPOSITION (suite)


2) MONTANT DES INTERETS PAYES AU COURS DE L'ANNEE 2006

a) Calculer le montant des mensualités payé au cours de l'année 2 006

Il y a eu 12 mensualités de 332,01490 chacune soit un total de 3984,178858 euros

b) Déterminer le montant de l'amortissement remboursé au cours de la même année 2 006
en faisant la différence entre

b1*) d'une part le capital restant dû à la fin de l'année 2 006

Il suffit de calculer le capital restant dû des 30 mensualités restant à rembourser qui nous est
donné par la formule suivante :



M = V(o) * [ (1+i) ;) -( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]

avec :
V(0) = 15 000,00
i = 0,0025 % pour 1
n = 48 mois durée totale de l'emprunt
h = 18 mois remboursés
(1+i) = 1,0025
(1+i) ;) = 1,127328021
(1+i) ;) = 1,04596912

On a :

M = V(o) * [ (1+i) ;) - ( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]
M = 15 000,000 * ( 1,127328021 -1,04596912 ) / ( 1,127328021 -1 )
M = 15 000,000 * 0,081358901 / 0,127328021
M = 1 220,38 / 0,127328021
M = 9 584,56356

Le capital restant à rembourser est de 9 584,56356 euros au 31 décembre 2 006
A titre de contrôle, le tableau d'emprunt nous donne un capital à rembourser de 9 584,56356 euros.

b2*) et d'autre part le capital restant à remboursé au 1er janvier 2 006 était de 13 221,83 euros

b3*) le capital remboursé au cours de l'année 2 006 est de
13 221,82938 -9 584,56356 = 3 637,26582 euros

c) et par différence entre total des mensualités soit 3 984,17886
et le capital remboursé au cours de l'année soit 3 637,26582

on obtient le montant des intérêts remboursés en 2 006 soit 346,91303
montant qui est égal à celui trouvé dans le tableau d'emprunt, à savoir : 346,91303

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 27 Sep 2015, 10:20

EXERCICE 1 (suite)

QUESTION b (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

B) SECONDE PROPOSITION (suite)


3) MONTANT DES INTERETS PAYES AU COURS DE L'ANNEE 2007

a) Calculer le montant des mensualités payé au cours de l'année 2 007

Il y a eu 12 mensualités de 332,01490 chacune soit un total de 3984,178858 euros

b) Déterminer le montant de l'amortissement remboursé au cours de la même année 2 007
en faisant la différence entre

b1*) d'une part le capital restant dû à la fin de l'année 2 007

Il suffit de calculer le capital restant dû des 18 mensualités restant à rembourser qui nous est
donné par la formule suivante :



M = V(o) * [ (1+i) ;) -( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]

avec :
V(0) = 15 000,00
i = 0,0025 % pour 1
n = 48 mois durée totale de l'emprunt
h = 30 mois remboursés
(1+i) = 1,0025
(1+i) ;) = 1,127328021
(1+i) ;) = 1,077783272

On a :

M = V(o) * [ (1+i) ;) - ( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]
M = 15 000,000 * ( 1,127328021 -1,077783272 ) / ( 1,127328021 -1 )
M = 15 000,000 * 0,049544749 / 0,127328021
M = 743,17 / 0,127328021
M = 5 836,66681

Le capital restant à rembourser est de 5 836,66681 euros au 31 décembre 2 007
A titre de contrôle, le tableau d'emprunt nous donne un capital à rembourser de 5 836,66681 euros.

b2*) et d'autre part le capital restant à remboursé au 1er janvier 2 007 était de 9 584,56 euros

b3*) le capital remboursé au cours de l'année 2 007 est de
9 584,56356 -5 836,66681 = 3 747,89674 euros

c) et par différence entre total des mensualités soit 3 984,17886
et le capital remboursé au cours de l'année soit 3 747,89674

on obtient le montant des intérêts remboursés en 2 007 soit 236,28211
montant qui est égal à celui trouvé dans le tableau d'emprunt, à savoir : 236,28211

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 28 Sep 2015, 10:09

EXERCICE 1

QUESTION b (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

B) SECONDE PROPOSITION (suite)

4) MONTANT DES INTERETS PAYES AU COURS DE L'ANNEE 2008

a) Calculer le montant des mensualités payé au cours de l'année 2 008

Il y a eu 12 mensualités de 332,01490 chacune soit un total de 3984,178858 euros

b) Déterminer le montant de l'amortissement remboursé au cours de la même année 2 008
en faisant la différence entre

b1*) d'une part le capital restant dû à la fin de l'année 2 008

Il suffit de calculer le capital restant dû des 6 mensualités restant à rembourser qui nous est
donné par la formule suivante :



M = V(o) * [ (1+i) ;) -( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]

avec :
V(0) = 15 000,00
i = 0,0025 % pour 1
n = 48 mois durée totale de l'emprunt
h = 42 mois remboursés
(1+i) = 1,0025
(1+i) ;) = 1,127328021
(1+i) ;) = 1,110565082

On a :

M = V(o) * [ (1+i) ;) - ( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]
M = 15 000,000 * ( 1,127328021 -1,110565082 ) / ( 1,127328021 -1 )
M = 15 000,000 * 0,016762939 / 0,127328021
M = 251,44 / 0,127328021
M = 1 974,77420

Le capital restant à rembourser est de 1 974,77420 euros au 31 décembre 2 008
A titre de contrôle, le tableau d'emprunt nous donne un capital à rembourser de 1 974,77420 euros.

b2*) et d'autre part le capital restant à remboursé au 1er janvier 2 008 était de 5 836,67 euros

b3*) le capital remboursé au cours de l'année 2 008 est de
5 836,66681 -1 974,7742 = 3 861,89261 euros

c) et par différence entre total des mensualités soit 3 984,17886
et le capital remboursé au cours de l'année soit 3 861,89261

on obtient le montant des intérêts remboursés en 2 008 soit 122,28625
montant qui est égal à celui trouvé dans le tableau d'emprunt, à savoir : 122,28625

A suivre

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par SAGE63 » 28 Sep 2015, 10:12

EXERCICE 1

QUESTION b (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

B) SECONDE PROPOSITION (suite)


5) MONTANT DES INTERETS PAYES AU COURS DE L'ANNEE 2009

a) Calculer le montant des mensualités payé au cours de l'année 2 009

Il y a eu 6 mensualités de 332,01490 chacune soit un total de 1992,089429 euros

b) Déterminer le montant de l'amortissement remboursé au cours de la même année 2 009
en faisant la différence entre

b1*) d'une part le capital restant dû au 30 juin 2009

Il suffit de calculer le capital restant dû des zero mensualité restant à rembourser qui nous est
donné par la formule suivante :



M = V(o) * [ (1+i) ;) -( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]

avec :
V(0) = 15 000,00
i = 0,0025 % pour 1
n = 48 mois durée totale de l'emprunt
h = 48 mois remboursés
(1+i) = 1,0025
(1+i) ;) = 1,127328021
(1+i) ;) = 1,127328021

On a :

M = V(o) * [ (1+i) ;) - ( 1+i) ;) ] / [(1+i);) - 1 ]
M = 15 000,000 * ( 1,127328021 -1,127328021 ) / ( 1,127328021 -1 )
M = 15 000,000 * 0 / 0,127328021
M = 0 / 0,127328021
M = 0

Le capital restant à rembourser est de zero euros au 30 juin 2 009
A titre de contrôle, le tableau d'emprunt nous donne un capital à rembourser de zero euros.

b2*) et d'autre part le capital restant à remboursé au 1er janvier 2 009 était de 1 974,77 euros

b3*) le capital remboursé au cours de l'année 2 009 est de
1 974,77420 - zéro = 1 974,77420 euros

c) et par différence entre total des mensualités soit 1 992,08943
et le capital remboursé au cours de l'année soit 1 974,77420

on obtient le montant des intérêts remboursés en 2 009 soit 17,31523
montant qui est égal à celui trouvé dans le tableau d'emprunt, à savoir : 17,31523

FIN DE LA QUESTION b)

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 29 Sep 2015, 09:47

EXERCICE 1 (suite)

QUESTIONS c) et d) et e)

Ces différentes questions nécessitent de prendre en considération deux hypothèses :

* la première hypothèse : versement d'un acompte au comptant au moment de la signature du contrat d'emprunt
* la deuxième hypothèse : versement d'un solde au moment du paiement de la dernière mensualité.

A) PREMIERE HYPOTHESE : VERSEMENT D'UN ACOMPTE AU MOMENT DE LA SIGNATURE DU CONTRAT D'EMPRUNT

I) ANALYSE DU PROBLEME

On est en présence d'un capital de départ d'un montant de 15 000,00 euros, au taux périodique de 0,25 % par mois,
remboursable de la façon suivante :

* 1 paiement immédiat : à calculer
* 12 mensualités de 150,00 euros chacune
* 36 mensualités de 300,00 euros chacune

Il est demandé de calculer la valeur du montant initial versé à la signature du contrat d'emprunt.

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION

1) PREMIERE PROPOSITION

Il suffit de confectionner…..le tableau d'emprunt …..
Le montant du versement initial est de 3 217,47969 euros versé le 1er juillet 2005.
soit un montant arrondi de 3 217,48 euros versé le 1er juillet 2005.

Période *** Capital départ *** Remboursement *** Intérêts mois *** Amortissement *** Capital dû *** Cumul Intérets
01/07/2005 15 000,00000 3 217,47969 3 217,47969 11 782,52031
31/07/2005 *** 11 782,52031 *** 150,00000 *** 29,45630 *** 120,54370 *** 11 661,97662 *** 29,45630
31/08/2005 *** 11 661,97662 *** 150,00000 *** 29,15494 *** 120,84506 *** 11 541,13156 *** 58,61124
30/09/2005 *** 11 541,13156 *** 150,00000 *** 28,85283 *** 121,14717 *** 11 419,98439 *** 87,46407
31/10/2005 *** 11 419,98439 *** 150,00000 *** 28,54996 *** 121,45004 *** 11 298,53435 *** 116,01403
30/11/2005 *** 11 298,53435 *** 150,00000 *** 28,24634 *** 121,75366 *** 11 176,78068 *** 144,26037
31/12/2005 *** 11 176,78068 *** 150,00000 *** 27,94195 *** 122,05805 *** 11 054,72263 *** 172,20232
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2005 *** ************** *** 4 117,47969 *** 172,20232 *** 3 945,27737 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2006 *** 11 054,72263 *** 150,00000 *** 27,63681 *** 122,36319 *** 10 932,35944 *** 199,83913
28/02/2006 *** 10 932,35944 *** 150,00000 *** 27,33090 *** 122,66910 *** 10 809,69034 *** 227,17002
31/03/2006 *** 10 809,69034 *** 150,00000 *** 27,02423 *** 122,97577 *** 10 686,71457 *** 254,19425
30/04/2006 *** 10 686,71457 *** 150,00000 *** 26,71679 *** 123,28321 *** 10 563,43135 *** 280,91104
31/05/2006 *** 10 563,43135 *** 150,00000 *** 26,40858 *** 123,59142 *** 10 439,83993 *** 307,31962
30/06/2006 *** 10 439,83993 *** 150,00000 *** 26,09960 *** 123,90040 *** 10 315,93953 *** 333,41922
31/07/2006 *** 10 315,93953 *** 300,00000 *** 25,78985 *** 274,21015 *** 10 041,72938 *** 359,20906
31/08/2006 *** 10 041,72938 *** 300,00000 *** 25,10432 *** 274,89568 *** 9 766,83370 *** 384,31339
30/09/2006 *** 9 766,83370 *** 300,00000 *** 24,41708 *** 275,58292 *** 9 491,25079 *** 408,73047
31/10/2006 *** 9 491,25079 *** 300,00000 *** 23,72813 *** 276,27187 *** 9 214,97891 *** 432,45860
30/11/2006 *** 9 214,97891 *** 300,00000 *** 23,03745 *** 276,96255 *** 8 938,01636 *** 455,49605
31/12/2006 *** 8 938,01636 *** 300,00000 *** 22,34504 *** 277,65496 *** 8 660,36140 *** 477,84109
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2006 *** ************** *** 2 700,00000 *** 305,63877 *** 2 394,36123 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2007 *** 8 660,36140 *** 300,00000 *** 21,65090 *** 278,34910 *** 8 382,01230 *** 499,49199
28/02/2007 *** 8 382,01230 *** 300,00000 *** 20,95503 *** 279,04497 *** 8 102,96734 *** 520,44702
31/03/2007 *** 8 102,96734 *** 300,00000 *** 20,25742 *** 279,74258 *** 7 823,22475 *** 540,70444
30/04/2007 *** 7 823,22475 *** 300,00000 *** 19,55806 *** 280,44194 *** 7 542,78282 *** 560,26250
31/05/2007 *** 7 542,78282 *** 300,00000 *** 18,85696 *** 281,14304 *** 7 261,63977 *** 579,11946
30/06/2007 *** 7 261,63977 *** 300,00000 *** 18,15410 *** 281,84590 *** 6 979,79387 *** 597,27356
31/07/2007 *** 6 979,79387 *** 300,00000 *** 17,44948 *** 282,55052 *** 6 697,24336 *** 614,72304
31/08/2007 *** 6 697,24336 *** 300,00000 *** 16,74311 *** 283,25689 *** 6 413,98647 *** 631,46615
30/09/2007 *** 6 413,98647 *** 300,00000 *** 16,03497 *** 283,96503 *** 6 130,02143 *** 647,50112
31/10/2007 *** 6 130,02143 *** 300,00000 *** 15,32505 *** 284,67495 *** 5 845,34649 *** 662,82617
30/11/2007 *** 5 845,34649 *** 300,00000 *** 14,61337 *** 285,38663 *** 5 559,95985 *** 677,43954
31/12/2007 *** 5 559,95985 *** 300,00000 *** 13,89990 *** 286,10010 *** 5 273,85975 *** 691,33944
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2007 *** ************** *** 3 600,00000 *** 213,49835 *** 3 386,50165 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2008 *** 5 273,85975 *** 300,00000 *** 13,18465 *** 286,81535 *** 4 987,04440 *** 704,52409
29/02/2008 *** 4 987,04440 *** 300,00000 *** 12,46761 *** 287,53239 *** 4 699,51201 *** 716,99170
31/03/2008 *** 4 699,51201 *** 300,00000 *** 11,74878 *** 288,25122 *** 4 411,26079 *** 728,74048
30/04/2008 *** 4 411,26079 *** 300,00000 *** 11,02815 *** 288,97185 *** 4 122,28894 *** 739,76863
31/05/2008 *** 4 122,28894 *** 300,00000 *** 10,30572 *** 289,69428 *** 3 832,59467 *** 750,07435
30/06/2008 *** 3 832,59467 *** 300,00000 *** 9,58149 *** 290,41851 *** 3 542,17615 *** 759,65584
31/07/2008 *** 3 542,17615 *** 300,00000 *** 8,85544 *** 291,14456 *** 3 251,03159 *** 768,51128
31/08/2008 *** 3 251,03159 *** 300,00000 *** 8,12758 *** 291,87242 *** 2 959,15917 *** 776,63886
30/09/2008 *** 2 959,15917 *** 300,00000 *** 7,39790 *** 292,60210 *** 2 666,55707 *** 784,03676
31/10/2008 *** 2 666,55707 *** 300,00000 *** 6,66639 *** 293,33361 *** 2 373,22346 *** 790,70315
30/11/2008 *** 2 373,22346 *** 300,00000 *** 5,93306 *** 294,06694 *** 2 079,15652 *** 796,63621
31/12/2008 *** 2 079,15652 *** 300,00000 *** 5,19789 *** 294,80211 *** 1 784,35441 *** 801,83410
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2008 *** ************** *** 3 600,00000 *** 110,49466 *** 3 489,50534 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2009 *** 1 784,35441 *** 300,00000 *** 4,46089 *** 295,53911 *** 1 488,81530 *** 806,29498
28/02/2009 *** 1 488,81530 *** 300,00000 *** 3,72204 *** 296,27796 *** 1 192,53734 *** 810,01702
31/03/2009 *** 1 192,53734 *** 300,00000 *** 2,98134 *** 297,01866 *** 895,51868 *** 812,99837
30/04/2009 *** 895,51868 *** 300,00000 *** 2,23880 *** 297,76120 *** 597,75748 *** 815,23716
31/05/2009 *** 597,75748 *** 300,00000 *** 1,49439 *** 298,50561 *** 299,25187 *** 816,73156
30/06/2009 *** 299,25187 *** 300,00000 *** 0,74813 *** 299,25187 *** -0,00000000 *** 817,47969
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2009 *** ************** *** 1 800,00000 *** 15,64559 *** 1 784,35441 *** ***
*** *** *** *** *** ***
TOTAL GENERAL*********** *** ************** *** 15 817,47969 *** 817,47969 *** 15 000,00000 *** ***

CONTRÔLE du TABLEAU d'EMPRUNT

a) le capital à rembourser est de 15 000,00000

b1) l'acompte initial est de 3 217,47969 euros
b2) les 12 mensualités de 150,00000 chacune donnent bien un total de 1 800,00000 euros
b3) les 36 mensualités de 300,00000 chacune donnent bien un total de 10 800,00000 euros
b4) soit au total 3 217,47969 + 1 800,00000 + 10 800,00000 = 15 817,47969

c) le montant des intérêts est égal à 15 817,47969 -15 000,00000 = 817,47969 euros

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 29 Sep 2015, 09:51

EXERCICE 1 (suite)

QUESTIONS c) et d) et e) (suite)

A) PREMIERE HYPOTHESE: VERSEMENT D'UN ACOMPTE AU MOMENT DE LA SIGNATURE DU CONTRAT D'EMPRUNT (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

2)SECONDE PROPOSITION

On constate :

1) qu'à l'époque de souscription de l'emprunt le montant de l'emprunt "V(0)" est de 15 000,00 euros, au taux de 0,25 % par mois.

a) la valeur actuelle "V(1)"du paiement "M(1)" euros
b) la valeur actuelle "V(2)" des 12 mensualités de 150,00 euros chacune
c) la valeur actuelle "V(3)" des 36 mensualités de 300,00 euros chacune
d) et on aura :
"V(0)" = "V(1) + "V(2)" + "V(3)"

2) Les données figurant au point 1) ci-dessus nous conduisent aux calculs suivants

Le taux est de 0,25 % par mois. soit 0,00250 pour 1
et on a (1+i) egal à 1,00250

A l'époque de souscription de l'emprunt le montant de l'emprunt on a: "V(0)" est égal à la somme de

a) la valeur actuelle "V(1)"du paiement "M(1)" euros

Le montant "M(1)" a été versé au montant de la signature du contrat d'emprunt.
En conséquence la valeur actuelle "V(1)" est égal à "M(1)"

b) la valeur actuelle "V(2)" des 12 mensualités de 150,00 euros chacune

La valeur actuelle "V(2)" nous est donnée par la formule :

V2= 150,000000 * [ 1 - 1,0025;)¹² ] / 0,00250
V2= 150,000000 * [ 1 - 0,9704819 ] / 0,00250
V2= 150,000000 * 0,0295181 / 0,00250
V2= 4,427720 / 0,0025000
V2= 1 771,088076

c) la valeur actuelle "V(3)" des 36 mensualités de "M(3)" euros chacune

V3= 300,000000 * [ ( 1 - 1,0025;)³;) ) / 0,00250 * 1,0025;)¹²
V3= 300,000000 * [ 1- 0,914034 ] / 0,002500 * 0,970482
V3= 300,000000 * 0,0859662 / 0,00250 * 0,970482
V3= 25,789849 / 0,0025000 * 0,970482
V3= 10 315,939530 * 0,9704819
V3= 10 011,432238

d) et on a la formule suivante :

"V(0)" = "V(1) + "V(2)" + "V(3)"

15 000,00000 = "M(1)" + 1 771,088076 + 10 011,432238

"M(1)" = 15 000,000000 -1 771,088076 -10 011,432238
"M(1)" = 3 217,479686

Le montant du versement initial immédiat est de 3 217,47969 euros
Le montant du versement initial immédiat figurant dans le tableau d'emprunt est de 3 217,47969 euros.

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 30 Sep 2015, 09:43

EXERCICE 1 (suite)

QUESTIONS c) et d) et e) (suite)

B) DEUXIEME HYPOTHESE: VERSEMENT D'UN SOLDE AU MOMENT DU PAIEMENT DE LA DERNIERE MENSUALITE

I) ANALYSE DU PROBLEME

On est en présence d'un capital de départ d'un montant de 15 000,00 euros, au taux périodique de 0,25 % par mois,
remboursable de la façon suivante :


* 12 mensualités de 150,00 euros chacune
* 36 mensualités de 300,00 euros chacune
* 1 solde de : à calculer

Il est demandé de calculer la valeur du solde versé au moment du paiement de la dernière mensualité.

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION

1) PREMIERE PROPOSITION

Il suffit de confectionner…..le tableau d'emprunt …..

Il suffit de confectionner…..le tableau d'emprunt …..
Le montant du solde est de 3 627,15501 euros versé le 30 juin 2009.
soit un montant arrondi de 3 627,16 euros versé le 30 juin 2009.

Période *** Capital départ *** Remboursement *** Intérêts mois *** Amortissement *** Capital dû *** Cumul Intérêts

31/07/2005 *** 15 000,00000 *** 150,00000 *** 37,50000 *** 112,50000 *** 14 887,50000 *** 37,50000
31/08/2005 *** 14 887,50000 *** 150,00000 *** 37,21875 *** 112,78125 *** 14 774,71875 *** 74,71875
30/09/2005 *** 14 774,71875 *** 150,00000 *** 36,93680 *** 113,06320 *** 14 661,65555 *** 111,65555
31/10/2005 *** 14 661,65555 *** 150,00000 *** 36,65414 *** 113,34586 *** 14 548,30969 *** 148,30969
30/11/2005 *** 14 548,30969 *** 150,00000 *** 36,37077 *** 113,62923 *** 14 434,68046 *** 184,68046
31/12/2005 *** 14 434,68046 *** 150,00000 *** 36,08670 *** 113,91330 *** 14 320,76716 *** 220,76716
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2005 *** ************** *** 900,00000 *** 220,76716 *** 679,23284 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2006 *** 14 320,76716 *** 150,00000 *** 35,80192 *** 114,19808 *** 14 206,56908 *** 256,56908
28/02/2006 *** 14 206,56908 *** 150,00000 *** 35,51642 *** 114,48358 *** 14 092,08550 *** 292,08550
31/03/2006 *** 14 092,08550 *** 150,00000 *** 35,23021 *** 114,76979 *** 13 977,31572 *** 327,31572
30/04/2006 *** 13 977,31572 *** 150,00000 *** 34,94329 *** 115,05671 *** 13 862,25900 *** 362,25900
31/05/2006 *** 13 862,25900 *** 150,00000 *** 34,65565 *** 115,34435 *** 13 746,91465 *** 396,91465
30/06/2006 *** 13 746,91465 *** 150,00000 *** 34,36729 *** 115,63271 *** 13 631,28194 *** 431,28194
31/07/2006 *** 13 631,28194 *** 300,00000 *** 34,07820 *** 265,92180 *** 13 365,36014 *** 465,36014
31/08/2006 *** 13 365,36014 *** 300,00000 *** 33,41340 *** 266,58660 *** 13 098,77354 *** 498,77354
30/09/2006 *** 13 098,77354 *** 300,00000 *** 32,74693 *** 267,25307 *** 12 831,52048 *** 531,52048
31/10/2006 *** 12 831,52048 *** 300,00000 *** 32,07880 *** 267,92120 *** 12 563,59928 *** 563,59928
30/11/2006 *** 12 563,59928 *** 300,00000 *** 31,40900 *** 268,59100 *** 12 295,00828 *** 595,00828
31/12/2006 *** 12 295,00828 *** 300,00000 *** 30,73752 *** 269,26248 *** 12 025,74580 *** 625,74580
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2006 *** ************** *** 2 700,00000 *** 404,97864 *** 2 295,02136 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2007 *** 12 025,74580 *** 300,00000 *** 30,06436 *** 269,93564 *** 11 755,81016 *** 655,81016
28/02/2007 *** 11 755,81016 *** 300,00000 *** 29,38953 *** 270,61047 *** 11 485,19969 *** 685,19969
31/03/2007 *** 11 485,19969 *** 300,00000 *** 28,71300 *** 271,28700 *** 11 213,91269 *** 713,91269
30/04/2007 *** 11 213,91269 *** 300,00000 *** 28,03478 *** 271,96522 *** 10 941,94747 *** 741,94747
31/05/2007 *** 10 941,94747 *** 300,00000 *** 27,35487 *** 272,64513 *** 10 669,30234 *** 769,30234
30/06/2007 *** 10 669,30234 *** 300,00000 *** 26,67326 *** 273,32674 *** 10 395,97559 *** 795,97559
31/07/2007 *** 10 395,97559 *** 300,00000 *** 25,98994 *** 274,01006 *** 10 121,96553 *** 821,96553
31/08/2007 *** 10 121,96553 *** 300,00000 *** 25,30491 *** 274,69509 *** 9 847,27045 *** 847,27045
30/09/2007 *** 9 847,27045 *** 300,00000 *** 24,61818 *** 275,38182 *** 9 571,88862 *** 871,88862
31/10/2007 *** 9 571,88862 *** 300,00000 *** 23,92972 *** 276,07028 *** 9 295,81834 *** 895,81834
30/11/2007 *** 9 295,81834 *** 300,00000 *** 23,23955 *** 276,76045 *** 9 019,05789 *** 919,05789
31/12/2007 *** 9 019,05789 *** 300,00000 *** 22,54764 *** 277,45236 *** 8 741,60553 *** 941,60553
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2007 *** ************** *** 3 600,00000 *** 315,85974 *** 3 284,14026 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2008 *** 8 741,60553 *** 300,00000 *** 21,85401 *** 278,14599 *** 8 463,45955 *** 963,45955
29/02/2008 *** 8 463,45955 *** 300,00000 *** 21,15865 *** 278,84135 *** 8 184,61820 *** 984,61820
31/03/2008 *** 8 184,61820 *** 300,00000 *** 20,46155 *** 279,53845 *** 7 905,07974 *** 1 005,07974
30/04/2008 *** 7 905,07974 *** 300,00000 *** 19,76270 *** 280,23730 *** 7 624,84244 *** 1 024,84244
31/05/2008 *** 7 624,84244 *** 300,00000 *** 19,06211 *** 280,93789 *** 7 343,90455 *** 1 043,90455
30/06/2008 *** 7 343,90455 *** 300,00000 *** 18,35976 *** 281,64024 *** 7 062,26431 *** 1 062,26431
31/07/2008 *** 7 062,26431 *** 300,00000 *** 17,65566 *** 282,34434 *** 6 779,91997 *** 1 079,91997
31/08/2008 *** 6 779,91997 *** 300,00000 *** 16,94980 *** 283,05020 *** 6 496,86977 *** 1 096,86977
30/09/2008 *** 6 496,86977 *** 300,00000 *** 16,24217 *** 283,75783 *** 6 213,11194 *** 1 113,11194
31/10/2008 *** 6 213,11194 *** 300,00000 *** 15,53278 *** 284,46722 *** 5 928,64472 *** 1 128,64472
30/11/2008 *** 5 928,64472 *** 300,00000 *** 14,82161 *** 285,17839 *** 5 643,46634 *** 1 143,46634
31/12/2008 *** 5 643,46634 *** 300,00000 *** 14,10867 *** 285,89133 *** 5 357,57500 *** 1 157,57500
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2008 *** ************** *** 3 600,00000 *** 215,96947 *** 3 384,03053 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2009 *** 5 357,57500 *** 300,00000 *** 13,39394 *** 286,60606 *** 5 070,96894 *** 1 170,96894
28/02/2009 *** 5 070,96894 *** 300,00000 *** 12,67742 *** 287,32258 *** 4 783,64636 *** 1 183,64636
31/03/2009 *** 4 783,64636 *** 300,00000 *** 11,95912 *** 288,04088 *** 4 495,60548 *** 1 195,60548
30/04/2009 *** 4 495,60548 *** 300,00000 *** 11,23901 *** 288,76099 *** 4 206,84449 *** 1 206,84449
31/05/2009 *** 4 206,84449 *** 300,00000 *** 10,51711 *** 289,48289 *** 3 917,36160 *** 1 217,36160
30/06/2009 *** 3 917,36160 *** 300,00000 *** 9,79340 *** 290,20660 *** 3 627,15501 *** 1 227,15501
30/06/2009 *** 3 627,15501 *** 3 627,15501 *** zéro *** 3 627,15501 *** zéro ***
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2009 *** ************** *** 5 427,15501 *** 69,58000 *** 5 357,57500 *** ***
*** *** *** *** *** ***
TOTAL GENERAL*********** *** ************** *** 16 227,15501 *** 1 227,15501 *** 15 000,00000 *** ***

CONTRÔLE du TABLEAU d'EMPRUNT

a) le capital à rembourser est de 15 000,00000 euros

b1) les 12 mensualités de 150,00000 chacune donnent bien un total de 1 800,00000 euros
b2) les 36 mensualités de 300,00000 chacune donnent bien un total de 10 800,00000 euros
b3) le solde 1 de 3 627,15501 soit 3 627,15501
b4) soit au total 1 800,00000 + 10 800,00000 + 3 627,15501 = 16 227,15501

c) le montant des intérêts est égal à 16 227,15501 -15 000,00000 = 1 227,15501 euros

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 30 Sep 2015, 09:46

EXERCICE 1 suite)

QUESTIONS c) et d) et e) (suite)

B) DEUXIEME HYPOTHESE: VERSEMENT D'UN SOLDE AU MOMENT DU PAIEMENT DE LA DERNIERE MENSUALITE (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

2) DEUXIEME PROPOSITION

1)A l'époque de souscription de l'emprunt le montant de l'emprunt est de 15 000,00 euros, au taux de 0,25 % par mois.


a) la valeur actuelle "V(2)" des 12 mensualités de 150,00 euros chacune
b) la valeur actuelle "V(3)" des 36 mensualités de 300,00 euros chacune
c) la valeur actuelle "V(4)" du 1 solde de : à calculer
d) et on aura :
"V(0)" = "V(2)" + "V(3)" + "V(4)"

2) Les données figurant au point 1) ci-dessus nous conduisent aux calculs suivants

Le taux est de 0,25 % par mois. soit 0,00250 pour 1
et on a (1+i) egal à 1,00250

A l'époque de souscription de l'emprunt le montant de l'emprunt "V(0)" est égal à la somme de 15 000,00000 euros


a) la valeur actuelle "V(2)" des 12 mensualités de 150,00 euros chacune

La valeur actuelle "V(2)" nous est donnée par la formule :

V2= 150,000000 * [ 1 - 1,0025;)¹² ] / 0,00250
V2= 150,000000 * [ 1 - 0,9704819 ] / 0,00250
V2= 150,000000 * 0,0295181 / 0,00250
V2= 4,427720 / 0,0025000
V2= 1 771,088076

b) la valeur actuelle "V(3)" des 36 mensualités de 300,00 euros chacune

V3= 300,000000 * [ ( 1 - 1,0025;)³;) ) / 0,00250 * 1,0025;)¹²
V3= 300,000000 * [ 1- 0,914034 ] / 0,002500 * 0,970482
V3= 300,000000 * 0,0859662 / 0,00250 * 0,970482
V3= 25,789849 / 0,0025000 * 0,970482
V3= 10 315,939530 * 0,9704819
V3= 10 011,432238

c) valeur actuelle "V(4)" du solde d'un montant de "M(4)"

Le montant "M(4)" a eté versé au moment du paiement de la dernière mensualité.

"V(4) = "M(4)" * (1,0025;););) )
"V(4) = "M(4)" * 0,887053263
"V(4) = 0,887053263 * "M(4)"


d) et on a la formule suivante :

"V(0)" = "V(2)" + "V(3)" + "V(4)"

15 000,00000 = 1 771,088076 + 10 011,432238 + ( 0,887053263 * "M(4)" )

15 000,00000 -1 771,088076 -10 011,432238 = 0,887053263 * "M(4)"
3 217,479686 = 0,887053263 * "M(4)"
3 217,479686 / 0,887053263 = "M(4)"
"M(4)" = 3 627,155007


Le montant du versement initial immédiat est de 3 627,16 euros

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 30 Sep 2015, 09:47

EXERCICE 1 (suite)

QUESTION c) et d) et e) (suite)

B) DEUXIEME HYPOTHESE: VERSEMENT D'UN SOLDE AU MOMENT DU PAIEMENT DE LA DERNIERE MENSUALITE (suite)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

3) TROISIEME ET DERNIERE PROPOSITION

On constate que le montant du solde payé au moment de la 48 ème et dernière mensualité est la
VALEUR ACQUISE au taux de 0,25 % par mois du montant du 1er acompte encaissé à la signature du contrat d'emprunt.

En effet on a :

a) montant du premier acompte : 3 217,479686 euros

b) valeur acquise par ce premier acompte au taux de 0,25 % par mois soit 0,0025 pour 1
pendant 48 mois est de

3 217,479686 * 1,0025 ;);)
3 217,479686 * 1,127328021
3 627,155007

c) le montant de versement final est de 3 627,155007
(voir détail ci-dessus)

FIN QUESTIONS c) et d) et e)

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 01 Oct 2015, 10:06

EXERCICE 1 (suite)

QUESTIONS f) et g) et h) et i)

I) ANALYSE DU PROBLEME

On est en présence d'un capital de départ d'un montant de 15 000,00 euros remboursable de la façon suivante :
* 1 paiement immédiat de 2 150,00 euros soit 2 150,00
* 12 mensualités de 150,00 euros chacune soit 1 800,00
* 36 mensualités de 300,00 euros chacune soit 10 800,00
* 1 dernier versement 1 200,00 euros soit 1 200,00
* soit un total de remboursement de 15 950,00
* pour un capital emprunté de 15 000,00
* et des intérêts pour un montant de 950,00

CONCLUSION : le taux d'intérêt mensuel n'est pas indiqué : on doit le calculer.


II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION

A) PREMIERE PROPOSITION

Il suffit de confectionner…..le tableau d'emprunt …..
Le taux d'intérêt mensuel sera de 0,249172285 % par mois soit


Période *** Capital départ *** Remboursement *** Intérêts mois *** Amortissement *** Capital dû *** Cumul Intérêts
01/07/2005 *** 15 000,0000 *** 2 150,00000 *** ZERO *** 2 150,00000 *** 12 850,000 *** ZERO
31/07/2005 *** 12 850,00000 *** 150,00000 *** 32,01864 *** 117,98136 *** 12 732,01864 *** 32,01864
31/08/2005 *** 12 732,01864 *** 150,00000 *** 31,72466 *** 118,27534 *** 12 613,74330 *** 63,74330
30/09/2005 *** 12 613,74330 *** 150,00000 *** 31,42995 *** 118,57005 *** 12 495,17325 *** 95,17325
31/10/2005 *** 12 495,17325 *** 150,00000 *** 31,13451 *** 118,86549 *** 12 376,30776 *** 126,30776
30/11/2005 *** 12 376,30776 *** 150,00000 *** 30,83833 *** 119,16167 *** 12 257,14609 *** 157,14609
31/12/2005 *** 12 257,14609 *** 150,00000 *** 30,54141 *** 119,45859 *** 12 137,68750 *** 187,68750
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2005 *** ************** *** 3 050,00000 *** 187,68750 *** 2 862,31250 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2006 *** 12 137,68750 *** 150,00000 *** 30,24375 *** 119,75625 *** 12 017,93125 *** 217,93125
28/02/2006 *** 12 017,93125 *** 150,00000 *** 29,94535 *** 120,05465 *** 11 897,87661 *** 247,87661
31/03/2006 *** 11 897,87661 *** 150,00000 *** 29,64621 *** 120,35379 *** 11 777,52282 *** 277,52282
30/04/2006 *** 11 777,52282 *** 150,00000 *** 29,34632 *** 120,65368 *** 11 656,86914 *** 306,86914
31/05/2006 *** 11 656,86914 *** 150,00000 *** 29,04569 *** 120,95431 *** 11 535,91483 *** 335,91483
30/06/2006 *** 11 535,91483 *** 150,00000 *** 28,74430 *** 121,25570 *** 11 414,65913 *** 364,65913
31/07/2006 *** 11 414,65913 *** 300,00000 *** 28,44217 *** 271,55783 *** 11 143,10130 *** 393,10130
31/08/2006 *** 11 143,10130 *** 300,00000 *** 27,76552 *** 272,23448 *** 10 870,86682 *** 420,86682
30/09/2006 *** 10 870,86682 *** 300,00000 *** 27,08719 *** 272,91281 *** 10 597,95401 *** 447,95401
31/10/2006 *** 10 597,95401 *** 300,00000 *** 26,40716 *** 273,59284 *** 10 324,36117 *** 474,36117
30/11/2006 *** 10 324,36117 *** 300,00000 *** 25,72545 *** 274,27455 *** 10 050,08662 *** 500,08662
31/12/2006 *** 10 050,08662 *** 300,00000 *** 25,04203 *** 274,95797 *** 9 775,12865 *** 525,12865
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2006 *** ************** *** 2 700,00000 *** 337,44115 *** 2 362,55885 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2007 *** 9 775,12865 *** 300,00000 *** 24,35691 *** 275,64309 *** 9 499,48556 *** 549,48556
28/02/2007 *** 9 499,48556 *** 300,00000 *** 23,67009 *** 276,32991 *** 9 223,15564 *** 573,15564
31/03/2007 *** 9 223,15564 *** 300,00000 *** 22,98155 *** 277,01845 *** 8 946,13719 *** 596,13719
30/04/2007 *** 8 946,13719 *** 300,00000 *** 22,29129 *** 277,70871 *** 8 668,42849 *** 618,42849
31/05/2007 *** 8 668,42849 *** 300,00000 *** 21,59932 *** 278,40068 *** 8 390,02781 *** 640,02781
30/06/2007 *** 8 390,02781 *** 300,00000 *** 20,90562 *** 279,09438 *** 8 110,93343 *** 660,93343
31/07/2007 *** 8 110,93343 *** 300,00000 *** 20,21020 *** 279,78980 *** 7 831,14363 *** 681,14363
31/08/2007 *** 7 831,14363 *** 300,00000 *** 19,51304 *** 280,48696 *** 7 550,65667 *** 700,65667
30/09/2007 *** 7 550,65667 *** 300,00000 *** 18,81414 *** 281,18586 *** 7 269,47081 *** 719,47081
31/10/2007 *** 7 269,47081 *** 300,00000 *** 18,11351 *** 281,88649 *** 6 987,58432 *** 737,58432
30/11/2007 *** 6 987,58432 *** 300,00000 *** 17,41112 *** 282,58888 *** 6 704,99544 *** 754,99544
31/12/2007 *** 6 704,99544 *** 300,00000 *** 16,70699 *** 283,29301 *** 6 421,70243 *** 771,70243
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2007 *** ************** *** 3 600,00000 *** 246,57379 *** 3 353,42621 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2008 *** 6 421,70243 *** 300,00000 *** 16,00110 *** 283,99890 *** 6 137,70354 *** 787,70354
29/02/2008 *** 6 137,70354 *** 300,00000 *** 15,29346 *** 284,70654 *** 5 852,99699 *** 802,99699
31/03/2008 *** 5 852,99699 *** 300,00000 *** 14,58405 *** 285,41595 *** 5 567,58104 *** 817,58104
30/04/2008 *** 5 567,58104 *** 300,00000 *** 13,87287 *** 286,12713 *** 5 281,45391 *** 831,45391
31/05/2008 *** 5 281,45391 *** 300,00000 *** 13,15992 *** 286,84008 *** 4 994,61383 *** 844,61383
30/06/2008 *** 4 994,61383 *** 300,00000 *** 12,44519 *** 287,55481 *** 4 707,05902 *** 857,05902
31/07/2008 *** 4 707,05902 *** 300,00000 *** 11,72869 *** 288,27131 *** 4 418,78771 *** 868,78771
31/08/2008 *** 4 418,78771 *** 300,00000 *** 11,01039 *** 288,98961 *** 4 129,79810 *** 879,79810
30/09/2008 *** 4 129,79810 *** 300,00000 *** 10,29031 *** 289,70969 *** 3 840,08841 *** 890,08841
31/10/2008 *** 3 840,08841 *** 300,00000 *** 9,56844 *** 290,43156 *** 3 549,65685 *** 899,65685
30/11/2008 *** 3 549,65685 *** 300,00000 *** 8,84476 *** 291,15524 *** 3 258,50161 *** 908,50161
31/12/2008 *** 3 258,50161 *** 300,00000 *** 8,11928 *** 291,88072 *** 2 966,62089 *** 916,62089
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2008 *** ************** *** 3 600,00000 *** 144,91846 *** 3 455,08154 *** ***
*** *** *** *** *** ***
31/01/2009 *** 2 966,62089 *** 300,00000 *** 7,39200 *** 292,60800 *** 2 674,01289 *** 924,01289
28/02/2009 *** 2 674,01289 *** 300,00000 *** 6,66290 *** 293,33710 *** 2 380,67579 *** 930,67579
31/03/2009 *** 2 380,67579 *** 300,00000 *** 5,93198 *** 294,06802 *** 2 086,60777 *** 936,60777
30/04/2009 *** 2 086,60777 *** 300,00000 *** 5,19925 *** 294,80075 *** 1 791,80702 *** 941,80702
31/05/2009 *** 1 791,80702 *** 300,00000 *** 4,46469 *** 295,53531 *** 1 496,27171 *** 946,27171
30/06/2009 *** 1 496,27171 *** 300,00000 *** 3,72829 *** 296,27171 *** 1 200,00000 *** 950,00000
30/06/2009 *** 1 496,27171 *** 1 200,00000 *** - *** 1 200,00000 *** 0,00000 *** 950,00000
*** *** *** *** *** ***
TOTAL 2009 *** ************** *** 3 000,00000 *** 33,37911 *** 2 966,62089 *** ***
*** *** *** *** *** ***
TOTAL GENERAL*********** *** ************** *** 15 950,00000 *** 950,00000 *** 15 000,00000 *** ***

CONTRÔLE du TABLEAU d'EMPRUNT

a) le capital à rembourser est de 15 000,00000

b1) l'acompte initial est de 2 150,00000 euros
b2) les 12 mensualités de 150,00000 chacune donnent bien un total de 1 800,00000 euros
b3) les 36 mensualités de 300,00000 chacune donnent bien un total de 10 800,00000 euros
b4) le solde final est de 1 200,00000 euros
b4) soit au total 2 150,00000 + 1 800,00000 + 10 800,00000 + 1 200,00000 = 15 950,00000

c) le montant des intérêts est égal à 15 950,00000 -15 000,00000 = 950,00000 euros

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 01 Oct 2015, 10:11

EXERCICE 1 (suite)

QUESTIONS f) et g) et h) et i)

II) DES PROPOSITIONS DE SOLUTION (suite)

B) SECONDE PROPOSITION

On a la formule :

"V(0)" = {"M(1)" } + { M(2) * [ 1- (1+i););) ] / i } + { M(3) * ( [ 1- (1+i););) ] / i ) / (1+i););) } + { M(4) * (1+i););););) }




avec :

"V(0)" = 15 000,00
"M(1)" = 2 150,00
M(2) = 150,00
M(3) = 300,00
M(4) = 1 200,00
n = 12
p = 36

On a l'équation suivante :

15 000,00 = 2 150,00 + { 150,00 *[ 1- (1+i);)¹² ] / i } + { 300,00 * ( [ 1- (1+i);)³;) ] / i ) / (1+i);)¹² } + { 1 200,00 * (1+i);););) }

Pour résoudre ce type d'équation il fait déterminer "i"
Personnellement je procède par approches successives et (finalement) je trouve "i" = 0,00249172285 pour 1.
Le taux de 0,24917228500 % par mois est identique au taux trouvé dans le tableau d'emprunt soit 0,249172285 % par mois.

On a donc :

i = 0,00249172285 pour 1
1+i = 1,00249172285
(1+i);)¹² = 0,97057802406
(1+i);)³;) = 0,91430556098
(1+i);););) = 0,88740488476

On obtient :

15 000,00 = 2 150,00 + { 150,00 *[ 1 - 0,9705780241 ] / 0,00249172285 } + { 300,00 *{[ 1 - 0,9143055610 ] / 0,0024917229 } * 0,9705780241 } + { 1 200,00 * 0,8874048848 }

15 000,00 = 2 150,00 + { 150,00 * 0,0294219759 / 0,0024917229 } + { 300,00 * { 0,0856944390 / 0,0024917229 } / 0,9705780241 } + { 1064,885862 }

15 000,00 = 2 150,00 + { 4,41329639 / 0,0024917229 } + { 300,00 * 34,39164152 * 0,9705780241 } + 1064,885862

15 000,00 = 2 150,00 + 1 771,18269427 + { 10 317,49 * 0,9705780241 } + 1064,885862

15 000,00 = 2 150,00 + 1 771,18269427 + 10013,93144 + 1064,885862

15 000,00 = 14 999,9999971505


Le taux d'intérêt est de 0,00249172285 pour 1 par mois soit 0,24917228500 % par mois,
qui est égal au taux d'intérêt trouve dans le tableau d'emprunt ci-dessus.


FIN QUESTIONS f) et g) et h) et i)

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 02 Oct 2015, 10:56

EXERCICE 1 (suite)

QUESTION j)

On demande de comparer deux barêmes, l'énoncé stipule : "comment se compare ce crédit avec l'opération précédente ? Pourquoi ?

Personnellement je comprend cette question de la façon suivante :

Comparer les deux formules de crédit, à savoir :

a) la première formule : remboursement par 48 mensualités constantes de 332,01490 euros.

b) la seconde formule : remboursement par
* un acompte immédiat d'un montant de 2 150,00 euros
* 12 mensualités de 150 euros chacune
* 36 mensualtés de 300 euros chacune
* un solde avec la dernière mensualité d'un montant de 1 200,00 euros


Les éléments d'analyse entre les deux formules sont les suivants :



1) les taux d'intérêts pratiqués


Formule 1 :
le taux est de 0,250000000 % par mois
soit un Taux Annuel Effectif global de : 1,0025¹² -1 = 1,030415957 -1 = 0,030415957 pour 1 pour un an
soit un Taux Annuel Effectif global de : 3,041595691 % pour un an

Formule 2 :
le taux est de 0,249172285 % par mois
soit un Taux Annuel Effectif global de : 1,00249172285¹² -1 = 1,03031387 -1 = 0,03031387 pour 1 pour un an
soit un Taux Annuel Effectif global de : 3,031386989 % pour un an

On constate que les taux sont "presque" égaux, avec, cependant un "petit" avantage pour la formule 2.



2) le montant global des intérêts remboursés


Formule 1 : Le total des intérêts s'élève à : 936,71543 euros

Formule 2 : Le total des intérêts s'élève à : 950,00000 euros

On constate que la formule 1 est plus économique et le montant de l'économie est de

950,00000 -936,71543 = 13,28457 euros pour un an

pour un montant emprunté de 15 000,00000 euros soit
soit un pourcentage de :
13,28457 / 15 000,00000 * 100 = 0,088563806 %. par rapport au capital emprunté.

Cette "petite" différence peut paraître "étonnante" puisque le taux d'intérêt de la formule 2 est le plus bas.


On peut analyser la différence des intérêts d'un montant de

950,00000 -936,71543 = 13,28457 euros

de la façon suivante :

a) si on prend en considération le capital restant dû on constate :

* que dans la formule 2 le capital est remboursé plus rapidement jusqu'à l'échéance du 30 juin 2006 soit 11 414,65913 euros
* que dans la formule 1 le capital est remboursé plus rapidement à partir du 31 juillet 2006 soit 11 113,34608 euros

b) si on prend en consideration le montant des intérêts cumulés :

* la formule 2 est plus avantageuse jusqu'au 31 janvier 2009 soit 924,01289 euros
* la formule 1 devient plus avantageuse à partir du 28 février 2009 928,45638 euros



3)et oublions les explications des mathématiques pour passer aux explications des "affaires" et à la similutude des résultats.


Nous somme en présence d'un produit "spécifique" : un véhicule automobile.

Deux barêmes différents pour deux types d'acheteurs (qui n' ont pas gagné au…….. LOTO) différents :

1) l'acheteur qui "change" de voiture :

* la vente de l'ancien véhicule "pourra" financer l'apport initial
* la vente de ce véhicule acheté "pourra" financer à la fin de l'emprunt le solde à payer
* cet acheteur "pourra" choisir le formule 2

2) l'acheteur qui n'a pas de véhicule et pas les fonds pour financer l'apport initial "devra" choisir la formule 1

3) ET (hors de sujet)………

Le vendeur de voitures (neuves) "aura" "TOUJOURS" l'argumentaire suivant :

Grâce à notre partenaire financier (qui est aussi juridiquement notre filiale, sans doute) VOTRE REVE est devenu REALITE.

FIN de la DERNIERE QUESTION j)

A suivre

SAGE63
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par SAGE63 » 02 Oct 2015, 10:59

EXERCICE 1 (suite)



En conclusion



"Les affaires sont les affaires, les mathématiques sont là pour (essayer de) les contrôler".

Vous pourrez consulter le Journal Officiel n° 134 du 11 juin 2002 de la REPUBLIQUE FRANCAISE pages 10358 à 10360.



T E R M I N E

 

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