Mathématiques financières

[SAGE63]

QUESTION 11 (suite)

QUESTION 11 - SIXIEME PARTIE : CAS DES OBLIGATIONS E : coupon de ZERO % l'an et une durée de 15 ans


Il s'agit de résoudre un problème de mathématiques financières concernant la théorie des obligations et plus particulièrement le rendement des obligations.

Dans la présente question les obligations répondent aux caractériques suivantes :

a) émission des obligations est faite au "pair", c'est-à-dire que le prix d'émission est fait à leur "valeur faciale", encore appelée "au nominal"

b) le remboursement est effectué en totalité au bout des "n" années

c) le remboursement de l'obligation se fait "au nominal"

d) le taux d'intérêt annuel est de ZERO % l'an soit ZERO pour 1 par an

e) et enfin les calculs à effectuer entre la date d'émission est la date de remboursement sont effectués le jour d'anniversaire de la date d'émission.
Il n'y a donc pas les calculs (compliqués) à effectuer entre deux dates d'anniversaire.

f) l'énoncé ne nous indique pas le montant du "nominal" de l'obligation : pour la suite de la résolution de ce problème on peut prendre n'importe quelle valeur nominale, et à titre de simplication on prendra 100, ou 1 000 ou 10 000 ou 100 000.
On retiendra la valeur de 10 000,00 par exemple.



A) DETERMINATION DE LA VALEUR ACTUELLE DE L'OBLIGATION E AU MOMENT DE SON EMISSION



La valeur nominale de chaque obligation est de 10 000,00

Le coupon annuel est de :
10 000,00 * ZERO / 100 = ZERO pendant 15 ans

Le remboursement de l'obligation sera fait au bout de 15 ans "au nominal" soit 10 000,00

En application des élèments ci-dessus la valeur actuelle de cette obligation est égale à la valeur actuelle des différents coupons à laquelle on ajoute la valeur actuelle du remboursement final, à savoir :

VA (à ZERO % ) = ZERO [ ( 1 - (1+zero) ˉ¹⁵ ) / (zéro) ] + [ 10 000,00 / (1+zero) ˉ¹⁵ ]
VA (à ZERO % ) = ZERO [ ( 1 - 1,000000 ) / (zéro) ] + [ 10 000,00 / 1 ]
VA (à ZERO % ) = ZERO [ zero / (zéro) ] + [ 10 000,000000 ]
VA (à ZERO % ) = ZERO [ zero ] + 10 000,000000
VA (à ZERO % ) = ZERO + 10 000,000000
VA (à ZERO % ) = 10 000,00

Au taux de ZERO % l'an la valeur actuelle de l'obligation est de 10 000,0000 arrondi à 10 000,00



B) DETERMINATION DE LA VALEUR ACTUELLE DE L'OBLIGATION E AU TAUX DE "r" de 4,300 % l'an soit 0,043 pour 1 par an pendant 15 ans



La valeur nominale de chaque obligation est de 10 000,00

Le coupon annuel est de :
10 000,00 * ZERO / 100 = ZERO pendant 15 ans

Le remboursement de l'obligation sera fait au bout de 15 ans "au nominal" soit 10 000,00

En application des élèments ci-dessus la valeur actuelle de cette obligation est égale à la valeur actuelle des différents coupons à laquelle on ajoute la valeur actuelle du remboursement final, à savoir :

VA (4,30 %) = ZERO [ ( 1 - 1,0430 ˉ¹⁵ ) / 0,0430 ] + [ 10 000,00 / 1,0430 ˉ¹⁵ ]
VA (4,30 %) = #VALEUR! [ ( 1 - 0,531784 ) / 0,0430 ] + [ 10 000,00 / 0,531784131 ]
VA (4,30 %) = #VALEUR! [ 0,468216 / 0,0430 ] + [ 5 317,841313 ]
VA (4,30 %) = #VALEUR! [ 10,888741 ] + 5 317,841313
VA (4,30 %) = #VALEUR! + 5 317,841313
VA (4,30 %) = 5 317,84

Au taux de 4,300 % l'an la valeur actuelle de l'obligation est de 5 317,8413 arrondi à 5 317,84



C) DETERMINATION DU COURS DE L'OBLIGATION E AU TAUX DE "r" de 4,300 % l'an soit 0,043 pour 1 par an pendant 15 ans



Le cours de l'obligation, en tenant compte d'un taux d'intérêt du marché de "r" de 4,300 % l'an est de :

5 317,84 / 10 000,00 = 0,531784131

Le cours est exprimé sur une base de 100, il est donc de : 53,17841313 arrondi à 53,18



D) DETERMINATION du NOMBRE D'OBLIGATIONS D ACHETER PAR L'INVESTISSEUR AU TAUX DE "r" de 4,300 % l'an soit 0,043 pour 1 par an pendant 15 ans



L'investissement est de 1 000 000,00

En tenant compte d'un intérêt de "r" de 4,300 % l'an l'investisseur pourra acheter

1 000 000,00 / 0,531784131 = 1 880 462,28 de "valeur nominale" d'obligations.



E) VERIFICATION DE L'OPERATION FINANCIERE FAITE PAR L'INVESTISSEUR



a) l'investissement total est de 1 000 000,00

b) cet investissement représente une valeur nominale d'obligation de

1 000 000,00 / 0,531784131 = 1 880 462,28

c) la somme nominale de 1 880 462,280 au taux de ZERO % l'an soit ZERO pour 1 l'an
rapporte un intérêt annuel de
1 880 462,28 * ZERO % = ZERO par an pendant 15 ans

d) et à la fin de la 15 ème année on perçoit le remboursement de la valeur nominale soit 1 880 462,280

e) en tenant compte des éléments ci-dessus au taux "r" du marché de 4,300 % l'an la valeur actuelle est de :

VA (à 4,30 % ) = ZERO [ ( 1 - 1,0430 ˉ¹⁵ ) / 0,0430 ] + [ 1 880 462,280 / 1,0430 ˉ¹⁵ ]
VA (à 4,30 % ) = ZERO [ ( 1 - 0,531784 ) / 0,0430 ] + [ 1 880 462,280 / 0,531784 ]
VA (à 4,30 % ) = ZERO [ 0,468216 / 0,0430 ] + [ 1 000 000,000 ]
VA (à 4,30 % ) = ZERO [ 10,888741 ] + 1 000 000,000
VA (à 4,30 % ) = ZERO + 1 000 000,000
VA (à 4,30 % ) = 1 000 000,00

Au taux de 4,300 % l'an la valeur actuelle de l'obligation est de 1 000 000,0000 arrondi à 1 000 000,00



F) CONSEQUENCES DU COURS DE L'OBLIGATION E AU TAUX DE "r" de 4,200 % l'an soit 0,042 pour 1 par an pendant 15 ans



1) DETERMINATION DE LA VALEUR ACTUELLE DE L'OBLIGATION E AU TAUX DE "r" de 4,200 % l'an soit 0,042 pour 1 par an pendant 15 ans


La valeur nominale des obligations achetées est de 1 880 462,280

Le coupon annuel est de :
1 880 462,28 * ZERO / 100 = ZERO pendant 15 ans

Le remboursement de l'obligation sera fait au bout de 15 ans "au nominal" soit 1 880 462,280

En application des élèments ci-dessus la valeur actuelle de cette obligation est égale à la valeur actuelle des différents coupons à laquelle on
ajoute la valeur actuelle du remboursement final, à savoir :

VA (à 4,20 %) = ZERO [ ( 1 - 1,0420 ˉ¹⁵ ) / 0,0420 ] + [ 1 880 462,28 / 1,0420 ˉ¹⁵ ]
VA (à 4,20 %) = ZERO [ ( 1 - 0,5394910 ) / 0,0420 ] + [ 1 880 462,28 / 0,539491014 ]
VA (à 4,20 %) = ZERO [ 0,4605090 / 0,0420 ] + [ 1 014 492,503 ]
VA (à 4,20 %) = ZERO [ 10,9644997 ] + 1 014 492,503
VA (à 4,20 %) = ZERO + 1 014 492,503
VA (à 4,20 %) = 1 014 492,50

Au taux de 4,200 % l'an la valeur actuelle de l'obligation est de 1 014 492,5029 arrondi à 1 014 492,50

On constate le lien entre la valeur théorique d'une obligation et le taux d'intérêt.

La valeur totale d’une obligation et la valeur cotée varient de façon inverse à la variation du taux d’intérêt.
(Quand l’un augmente, l’autre diminue)


2) CONCLUSION


Au taux d'intérêt de 4,300 % l'an la valeur actuelle est de 1 000 000,00 pour une valeur nominale de 1 880 462,280
Au taux d'intérêt de 4,200 % l'an la valeur actuelle est de 1 014 492,50 pour une valeur nominale de 1 880 462,280

soit
Une diminution du taux de 0,10 % l'an et une augmentation de la valeur actuelle de 14 492,50 pour une valeur nominale de 1 880 462,280

A suivre

[SAGE63]

QUESTION 11 (suite et fin)

QUESTION 11 - CONCLUSION GENERALE - LE CHOIX DE L'INVESTISSEUR



Pour un investissement de 1 000 000,00 , un investisseur peut acheter :

A) OBLIGATION A : COUPON de 5,00 % et DUREE de 10 ans

a) au taux du marché de 4,30 % l'an, le marché permet l'acquisition des obligations au prix de 1 000 000,00
b) au taux du marché de 4,20 % l'an, le marché permet la vente des obligations au prix de 1 007 868,05
c) l'investisseur réalise un profit de 1 007 868,05 -1 000 000,00 = 7 868,05

B) OBLIGATION B : COUPON de 5,00 % et DUREE de 15 ans

a) au taux du marché de 4,30 % l'an, le marché permet l'acquisition des obligations au prix de 1 000 000,00
b) au taux du marché de 4,20 % l'an, le marché permet la vente des obligations au prix de 1 010 680,71
c) l'investisseur réalise un profit de 1 010 680,71 -1 000 000,00 = 10 680,71

C) OBLIGATION C : COUPON de 3,50 % et DUREE de 10 ans

a) au taux du marché de 4,30 % l'an, le marché permet l'acquisition des obligations au prix de 1 000 000,00
b) au taux du marché de 4,20 % l'an, le marché permet la vente des obligations au prix de 1 008 240,48
c) l'investisseur réalise un profit de 1 008 240,48 -1 000 000,00 = 8 240,48

D) OBLIGATION D : COUPON de 3,50 % et DUREE de 15 ans

a) au taux du marché de 4,30 % l'an, le marché permet l'acquisition des obligations au prix de 1 000 000,00
b) au taux du marché de 4,20 % l'an, le marché permet la vente des obligations au prix de 1 011 346,86
c) l'investisseur réalise un profit de 1 011 346,86 -1 000 000,00 = 11 346,86

E) OBLIGATION E : COUPON de zero % et DUREE de 10 ans

a) au taux du marché de 4,30 % l'an, le marché permet l'acquisition des obligations au prix de 1 000 000,00
b) au taux du marché de 4,20 % l'an, le marché permet la vente des obligations au prix de 1 009 638,48
c) l'investisseur réalise un profit de 1 009 638,48 -1 000 000,00 = 9 638,48

F) OBLIGATION F : COUPON de zero % et DUREE de 15 ans

a) au taux du marché de 4,30 % l'an, le marché permet l'acquisition des obligations au prix de 1 000 000,00
b) au taux du marché de 4,20 % l'an, le marché permet la vente des obligations au prix de 1 014 492,50
c) l'investisseur réalise un profit de 1 014 492,50 -1 000 000,00 = 14 492,50

G) CHOIX DE L'INVESTISSEUR


Après consultation de son médecin traitant (peut être), l'investisseur portera son choix sur les obligations F en bourse au taux du marche "r" de 4,30 %, pour les revendre en totalité dès que le taux "r" sera de 4,20 %.
Champagne……

Fin de la QUESTION 11