Majoration cosinus/sinus

[Aispor]

Bonsoir, je cherche à résoudre cet exercice



Je suis donc ramené à montrer que pour tous couples (x,y) : | 0.5*(cos(x) - sin(y)) | <=k* d(x,y)
Avec 0<k<1
J'ai pensé prendre la distance infini sur R^2 mais je n'ai pas réussis la majoration, pouvez vous me montrer une méthode pour majorer les différences de sinus/cosinus Parce que je vois pas ^^
Merci d'avance !

[aviateur]

Bjr
"Je suis donc ramené à montrer que pour tous couples (x,y) : | 0.5*(cos(x) - sin(y)) | <=k* d(x,y)
Avec 0<k<1 "

Je ne comprends pourquoi tu es ramené à cela.
Tu peux prendre
Il suffit de montrer que
avec 0<k<1.
Ceci pour tout dans la boule unité. En effet à partir de n=1 la suite est dans cette boule.

[aviateur]

Bonjour
Bien sûr il y a la convergence à justifier correctement.
Concernant la détermination de la limite, là j'ai un doute concernant cette question. En effet à moins que quelque chose m'ait échappé, je ne vois pas comment exprimer la limite avec les fonctions usuelles. Alors peut être qu'on demande une valeur approchée de la limite? Ce qui en soi-même n'est pas un problème.

[Aispor]

Salut ! Merci d'avoir répondu
En effet j'étais mal parti au départ x) maintenant je suis plus sur les rails mais je n'arrive toujours pas à trouver un 0<k<1
Alors voici un exemple de majoration que j'arrive à faire en utilisant les formules trigo :



Bien-sûr ce n'est pas suffisant ^^

[aviateur]

Bonjour
Effectivement le premier réflexe c'est de faire comme tu as fais mais ce n'est pas suffisant.
Je crois que ce qui marche c'est d'utiliser le th des accroissements finis de la façon suivante
cos(u)-cos(v)= - sin (w)(u-v) avec w\in]u,v[ (idem avec les sinus)

Ce qui donne des majorations de la forme |cos(u)-cos(v)|=| sin (w)||u-v|

Maintenant je n'ai pas écris les détails mais je crois que ça va marcher.
En effet je pense qu'il y a au moins un couple u,v dans les calculs tel que le w correspondant sera tel que le |sin(w)| sera inférieur à un k strictement <1.
En effet |u| et |v| sont <= 1. et 1 est plus petit que pi/2.

Je te laisse écrire cela proprement pour voir.

[Aispor]

En effet ça donne une majoration par sin(1) en facteur avec le terme |a1 -b1| mais d'un autre côté le cosinus en facteur avec |a2 - b2| lui peut être égale à 1

[aviateur]

Prenons la norme ||(u,v)|-=max (|u|,|v|) . Supposons
Calcul de f(u1,v1)-f(u2,v2)
première composante = 1/2 (cos u1-cos u2)-1/2 (sin(v1)- sin( v2)
majorons en valeur absolue (avec le th des AF):

où t_a est compris entre u_1 et u_2 donc
on reprend la majoration de la première composante en v.a

et k'<1.
même travail avec la deuxième composante:

ça marche très bien

[Aispor]

Ah oui en effet pardon ^^
C'est Nice tout ça
Et du coup tu as une méthode pour approcher la valeur du points fixe ?

Au départ je pensais résoudre l'équation f(x,y) = (x,y) mais ça me paraît un peu impossible x)
On a vu en cours aussi que distance ( f^n(a) , c ) <= k^n / 1-k *distance(a,c)
Où a est un point quelcquonque et c le point fixe
Mais je ne vois pas en quoi ça aide ici

[aviateur]

On a La convergence va être lente. Pour une grande précision on peut accélérer la cv.
Ou alors on applique la méthode de Newton-Raphson pour la recherche du point fixe, la cv étant rapide

voici la réponse avec Newton-Raphson, 20 décimales exactes.
{0.5418967160206241, -0.22905926720286485}

[Aispor]

Ah merci !